Применение графического и аналитического методов при решении прямой задачи пространственного манипулятора при проведении лабораторных работ по робототехническим дисциплинам со студентами инженерно-педагогических специальностей

Учебный план подготовки будущих инженеров-педагогов специальности

6.010100(29) «Профессиональное обучение. Автоматизированные системы управления промышленными установками» предусматривает среди прочих специальную подготовку в области робототехники. Актуальность этой подго- товки не вызывает сомнений, так как в учебных планах подготовки младших

специалистов и квалифицированных рабочих по техническим специальностям особое место уделяется подготовке к работе в качестве оператора робототехни- ческих систем и умению управлению манипуляторами.

Овладение будущими инженерами-педагогами методики решения прямой задачи пространственного манипулятора поможет им в понимании теоретиче- ских аспектов задачи определения пространственных координат элементов ма- нипулятора. Данная методика  позволит им овладеть практическими навыками управления робототехническими системами и даст возможность использовать в своей педагогической деятельности наглядное решение задачи расчета про- странственных кинематических цепей.

При изучении дисциплин, рассматривающих различные аспекты робото- техники, возникают определённые трудности при решении прямой и обратной задачи кинематики пространственного манипулятора [1]. В этом случае прихо-

дится определять пространственные координаты элементов незамкнутой кине- матической цепи, которая и представляет собой манипулятор. При этом возни- кает необходимость определять координаты как в локальных системах коорди- нат, связанных со звеньями манипулятора, так и в глобальной системе, связан- ной с неподвижным корпусом робота.

Так как перерасчёт координат из одной координатной системы в другую приходится проводить по весьма громоздким формулам, в учебной литературе рекомендуется выполнять эти перерасчёты матричным методом   [2]. При рас- чёте пространственных кинематических цепей аналитическими методами теря- ется наглядность решения, что усложняет восприятие изучаемого материала студентами.

С целью совершенствования процессов изучения этого материала, необ- ходима методика проведения лабораторно-практических занятий, которые про-

водятся в компьютерном классе и основаны на реализации графического реше- ния этой задачи в среде Автокад с последующей проверкой правильности ре- шения средствами Маткада.

Рассмотрим предложенную методику на примере пространственного ма- нипулятора, кинематическая схема которого представлена на рис.1.

S

Y 3

Z 3

4

Z 0       C

Z 2

5          3          Y 2

Z 1       B

2

1

A         Y 1

 L1

Y 0

Рисунок 1- Схема пространственного манипулятора

Манипулятор содержит 5 звеньев и работает следующим образом. Звено

2 с помощью, например, винтовой передачи может совершать поступательное движение вдоль вертикальной направляющей 1, которая с помощью, например, червячной передачи, установленной на корпусе робота, может вращаться во- круг вертикальной оси этой направляющей  вместе со всеми звеньями манипу- лятора. Звенья 2, 3, 4 и 5 образуют между собой  вращательные кинематические пары  пятого класса, а их относительное  вращательное движение осуществля- ется  с помощью трёх электродвигателей, установленных на самих звеньях.

С манипулятором свяжем трёхмерную декартову систему координат, не- подвижную относительно корпуса робота. Направление осей этой системы y0   и z0  показано на рисунке, а ось x0  направлена перпендикулярно плоскости рисун- ка.

Предположим, что при работе робота точка S звена 5 манипулятора должна оказаться  в определённой точке пространства, обслуживаемого робо- том. Например, эта точка определяет положение детали, которая должна быть схвачена схватом манипулятора. Очевидно, что положение этой точки будет задано в глобальной системе координат, связанной со станиной робота. В свою очередь, точка S звена 5 окажется в нужном месте при определённом сочетании положений звеньев. Эти положения целесообразно определять в подвижных системах координат , связанных со звеньями манипулятора. Так, положение звена 2 удобно определять координатой h2  в системе координат y0z0 , которая связана со станиной робота. В свою очередь, положение звена 3 удобно опреде-

лять в системе координат y2z2 , которая связана со звеном 2. При этом угол φ3 , определяющий положение звена 3, равен углу поворота ротора двигателя , ус- тановленного на звене 2. Аналогично положение звена 4   с помощью угла φ4 удобно рассматривать в системе координат y3z3, жёстко связанной со звеном 3. Это относится также и к звену 5.Вращение манипулятора вокруг оси z опреде- ляется углом φ1.

Таким образом, при определённой комбинации длин звеньев L1 ,L2 ,L3 ,L4 и координат в местных подвижных системах  h1,φ1,φ2 ,φ3 ,φ4    , которые носят на- звание обобщённых координат, положение точки S схвата будет однозначно определено.

Её координаты определяем с точностью до 0,001 мм с помощью Автокада

, в котором пространственные построения выполняются в прямоугольной изо- метрии.

.Для подготовки экрана к трёхмерным построениям следует поступить следующим образом. После загрузки Автокада в верхней строке падающих ме- ню следует выбрать меню Вид (View) и , открыв его, воспользоваться пунктом

3М виды (3D Views). После активизации этого пункта  следует выбрать северо- восточную (СВ) изометрию (NE Isometric). Если щёлкнуть левой кнопкой мы- ши по этому пункту меню, изменится внешний вид графического экрана: пик- тограмма координатных осей смещается в центр экрана и разворачивается так, что углы между осями составят 120 градусов. Кроме того , внутри пиктограммы появляется знак плюс , означающий , что в данном виде пиктограмма распола- гается в начале действующей системы координат и является мировой системой координат МСК (WCS).Ранее эту систему мы называли глобальной. Кроме этой

системы можно применять также пользовательские системы координат (ранее мы их называли локальными), начало которых могут быть смещены , а оси по- вёрнуты относительно мировой системы координат.

Построение ПСК можно выполнить с помощью групповой кнопки ПСК в панели Стандартная. Рассмотрим команды, которые могут пригодиться при вы- полнении построений.

Команда World восстанавливает мировую систему координат.

Команда Ucs  Previous возвращает предыдущую пользовательскую сис- тему координат.

Команда Origin создаёт ПСК , параллельную текущей, но с новым нача- лом координат, которое требуется указать.

Команда Z Axis Vector –указание нового начала координат и точки, ле- жащей на положительном направлении новой оси Z.

Команда 3Point - указание нового начала координат и точек, определяю- щих положительные направления новых осей X и Y.

Команда X выполняет поворот текущей ПСК вокруг текущей оси X. Команда Y выполняет поворот текущей ПСК вокруг текущей оси Y. Команда Z выполняет поворот текущей ПСК вокруг текущей оси Z.

Кроме команд, выполняющих перестроение систем координат , необхо- димо знать команды , позволяющие строить отрезки, изображающие звенья ма- нипулятора.

Если известны координаты концов отрезка, то для его построения на эк- ране необходимо воспользоваться командой ОТРЕЗОК (LINE) и ввести через запятые сначала 3 координаты одного конца отрезка, а затем 3 координаты дру- гого конца.

В том случае, если известны координаты начальной точки отрезка, его длина и ориентация в ПСК, удобно использовать относительный ввод точки с

помощью записи следующего вида: @150<45<60. Понимать эту запись следует так: длина отрезка равна 150, проекция этого отрезка на плоскость XY   ПСК образует с положительным направлением оси X угол 45° , а сам отрезок накло- нён к плоскости XY под углом 60°. Можно рекомендовать следующую  после- довательность построений.

1 Загрузить Автокад.

2 В падающем меню Вид  открыть пункт 3М виды и выбрать требуемый вид изометрии.

3 В дальнейшем построение осей координат следует дублировать построени- ем отрезков произвольной длины , совпадающих с осями текущей системы ко- ординат. Это необходимо для сохранения наглядности построений, так как оси неактивной системы координат на экране не сохраняются. В связи с этим нуж- но построить 3 отрезка , начальные точки которых совпадают с началом коор-

динат, а конечные точки находятся на некотором расстоянии от начала коорди- нат соответственно на осях X,Y и Z.

4 Дальнейшие построения следует выполнять в предположении , что поворот звена 1 вокруг оси Z мировой системы координат пока не осуществляется и движение звеньев манипулятора происходит в плоскости ZY МСК.В связи с этим следует построить ПСК1, связанную со звеном 2, начало которой совпада- ет с точкой А , а оси параллельны осям МСК, для чего воспользуемся командой Origin групповой кнопки ПСК, после чего продублировать построение осей этой ПСК1.

5 Теперь в этой системе координат следует построить отрезок, изображаю- щий звено 2, длиной L2 мм, проекция которого на плоскость XY  ПСК1 образу- ет с положительным  направлением оси X угол 90° , а сам отрезок наклонён к плоскости XY под углом φ2  °.Для этого необходимо активизировать команду ОТРЕЗОК и ввести координаты начальной точки отрезка в рассматриваемой ПСК   (0,0,0),   после   чего   выполнить  относительный  ввод   точки   в   виде

(@L2<90<φ2).

6 Теперь используя команду X групповой кнопки ПСК следует повернуть

ПСК1 вокруг оси X на угол φ2° и затем с помощью команды 3Point перенести в точку В и получить ПСК2.Продублировать построение осей ПСК2.

7 Эти действия необходимо повторить для звеньев 2 и 3 и в результате полу- чить положение точки S схвата.

8 Далее, используя командуWorld,  следует восстановить мировую систему координат.

9 Теперь используя команду Z , следует выполнить   поворот МСК вокруг оси Z на угол (-φ1) .

10 Наконец, левой кнопкой мыши следует щёлкнуть на изображении четвёр- того звена , на котором появятся ручки, одна из которых отметит конечную то- чку звена S. Направив прицел курсора на эту точку, в нижней строке режимов можно прочитать её координаты.

Заметим, что таким же образом можно определить координаты любой точки манипулятора в мировой или любой пользовательской системах коорди- нат.

С целью контроля правильности графических построений следует ис- пользовать матричный метод преобразования систем координат, который мож- но реализовать в среде Маткада.

Ниже приведены виды матриц , выполняющих различные операции по преобразованию систем координат.

Матрицы поворота вокруг осей      X,Yи Z на углы соответственно

, e  :

 1



Mx   0

 0



 0

0

cos 

sin 

0

0          0 

cos    0 







My 







cos  

0

sin  

0

0   sin     0 



1          0          0 

0  cos    0 





Mz  







cos  

sin  

0

0

sin  

cos  

0

0

0  0 



0  0 

1  0 

0          

Матрица переноса начала координат на величину  a вдоль оси X,на вели- чину  b вдоль оси Y и на величину с вдоль оси Z , а также четырёхмерный век- тор, представляющий координаты точки в исходной системе координат имеют следующий вид .

Mabc 

V1 

 y  

 z 

                  1    .

Тогда координаты этой точки в системе координат, полученной после поворота исходной системы координат   вокруг оси  x  на угол  φ , могут быть найдены в результате умножения соответствующей матрицы поворота на исхо- дный вектор, то есть

V2=MX·V1    или

 1      0

 0   sin 

0

sin 

cos 

0 

0 

x1 

y1   

z1 

 x2 

 y2  

 z2 

           1                    

При решении поставленной задачи следует выполнить следующие опе- рации, воспроизводящие кинематику манипулятора:

- повернуть звено 1 на некоторый заданный угол θ вокруг вертикальной направляющей , переместить на величину h1 и получить систему координат, связанную со звеном 1;

-повернуть звено 2 на заданный угол φ2  в системе координат, связанной со звеном 1;

-повернуть звено 3 на заданный угол φ3  в системе координат, связанной со звеном 2;

-повернуть звено 4 на заданный угол φ4  в системе координат, связанной со звеном 3;

-определить координаты точки S схвата в системе координат, связанной с корпуса робота.

Эти преобразования в матричной форме могут быть представлены в ви-

де

вий.

MZ · Mbc ·MX1bc  ·MX2bc ·VS =V  (1)

При этом можно рекомендовать следующую последовательность дейст-

1 Загрузить Маткад.

2 Вывести на экран плавающие панели инструментов Math, Calculator и Greek.

Для этого необходимо открыть падающее меню Viev и в нём раздел Toolbars и активизировать требуемые плавающие панели.

3 В рабочей области экрана ввести исходные данные, например, в следующей

форме:

  0.52360

ya  200

za  300

2  0.3491

L2  600

3  0.4363

L3  500

4  0.5236

L4  400

При этом значения углов следует вводить в радианах.

4 Используя выведенные на экран плавающие панели инструментов, на основании формулы (1) построить матричное выражение в виде

 cos  

sin  

0  0 

 1  0  0

0   

  1 0          0

0            1 0          0

0           

0           



sin  

cos     0  0 

0  1  0  ya

  0  cos 2

sin 2

L2  cos 2   0

cos 3

sin 3

L3  cos 3   L4  cos 4  

           

             

       

         0          0

1  0 

 0  0  1

za  

  0

sin 2

cos 2

L2  sin 2

  0

sin 3

cos 3

L3  sin 3

   L4  sin 4   

                        0          0

 

 

1           

 

1           

5 Щёлкнув по знаку равенства при расположении курсора справа от этого вы- ражения, получить результирующий вектор, компоненты которого являются координатами точки схвата в мировой системе координат, то есть в системе, которая жёстко связана с корпусом робота.

6 Эти результаты следует сравнить с результатами, полученными графическим методом в среде Автокад. Они должны совпадать.

Отчётным документом проделанной работы являются распечатки резуль- татов, полученные на принтере, или результаты, содержащиеся на жёстком но- сителе.

Внедрение в учебный процесс рассмотренной методики позволило суще- ственно повысить наглядность материала , изучение которого обычно вызывает трудности у студентов. Но самое главное, что студенты  смогли осознать един- ство решения задач графическими методами, которые изучаются в курсе начер- тательной геометрии, и аналитическими методами, изучаемыми в курсе анали- тической геометрии.

В дальнейшем предполагается использовать предложенную методику для исследования манипуляторов другой структуры, а в курсе математики при изу- чении теории матриц решать не абстрактные, а прикладные задачи исследова- ния кинематики незамкнутых кинематических цепей.

Литература

1.   Механика промышленных         роботов.         В          3-х       книгах /Под    ред.     К.В.Фролова,

Е.И.Воробьёва .-М .: Высш.шк.,1989.

2.   И. Б. Челпанов Устройство промышленных роботов. – СПб.: Политехника, 2001.

3.   Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.-М.: Наука,1968.

4.   М. Шахинпур Курс робототехники. – М.: Мир, 1990.

К о н о н о ва М . М .