3.4. обґрунтування зростання очікуваної ефективності при зменшенні ступеня невизначеності

Нехай М | Ьу(т) |2 < °° і, j; аі > 0 і, х = {х: Ах < b, х > 0} непуста та обмежена множина; коефіцієнти матриці В(ю) мають густину розподілу, причому коефіцієнт bkl(co) розподілений незалежно щодо сукупності інших коефіцієнтів матриці В(ю). Тоді Ф(є') > Ф(є) при є < є, якщо хі (є) > 0 та

0 < Pk < 1 , (3.10)

де k = і[х(є), ю];

і(х, ю) визначається рівністю

аі_1(х, ю)[5(ю, є)х],(х, ю) = min а,"1 [В(ю, є)х],.

Доведення. Поряд з попередньою задачею розглянемо допоміжну задачу

g(x, y, є, є') = M min аі"1[5(ю, є)х + Ь'(ю, є')у ]i —> тах,

(x, y )є Y = *{x, y ): Ax + ay < b, x, y > 0j

де а1 — l-тий стовпчик матриці А, а Ь1(ю, є') відрізняється від l-того стовпчика матриці В(ю, є) лише одним k-тим елементом, який дорівнює Ь(ю, є').

Нехай (х(є, є'), у(є, є')) = arg max g(x, у, є, є'). Зазначимо, що множина Y, як і множина Х, є непустою та обмеженою, а отже, Arg max g(x, у, є, є') Ф Ш

Доведення розіб'ємо на етапи. Доведемо спочатку, що

g(x, (є, є'), у(є, є'), є, є') > Ф(є), (3.11)

причому при виконанні (3.10) має місце строга нерівність. Після цього доведемо, що

х(є, є') = 0. (3.12)

Легко бачити, що з (3.12) випливає рівність g(x, (є, є'), у(є, є'), є, є') > Ф(є'), яка разом з (3.11) доводить твердження теореми.

Доведемо нерівність (3.11).

Розглянемо функцію

W(y) = max g(x, y, є, є'),

де XY = ix : (x-> У) є Yі при малому у.

Оцінимо Т(у) - Т(0) [зазначимо що Т(0) = /(х(є), є)]. Для цього перетворимо обидві задачі до вигляду, зручного для використання маргінальних властивостей. Розглянемо задачу: знайти такий детермінований вектор х та таку А — вимірну функцію, щоб

Мг(со) — max, B(w, є)х >az(w). (3.13)

Згідно з припущеними щодо множини Х Arg max (3.13) Ф Ш Якщо ^(є), г((й, є)] = arg max (3.13), то з імовірністю 1

z(w, є) = min а;-1[В((о, є^є)],-, (3.14)

звідки випливають еквівалентності (3.7) та (3.13). Для оцінки Т(у) сформулюємо задачу:

Мг(со) со— max, В(со, є)x + b'(w, є')у >аг(ш) (3.15)

Очевидно, що

Т(у) = Mz((ü, у, є, є'), де (x(y, є, є'), z( y, є, є')) = arg max u((o)sL2. Двоїста задача до задачі (3.13) має вигляд Ax + a1 y < b,x,y > 0,z(ai)є L2.

Потім слід знайти u(w) і детермінований вектор v, щоб

(b, v) — min. (3.16)

Тоді

Mßr(w, є)и(ш) < Arv, (3.17) Припущення теореми, вигляд прямої (3.13) та двоїстої задачі забезпечують виконання співвідношень двоїстості, умов оптимальності та маргінальних співвідношень. Зокрема, з (3.16) та ос, > 0 випливає обмеженість допустимої множини задач (3.14)-(3.16) за нормою простору L2. Згідно з умовами оп-тимальності та маргінальними властивостями стохастичних оптимальних оцінок дістанемо:

Y(y) = Т(0) + у {М[Ьг(со, є'),и(со, є)] + ^(є)]} + а(у), (3.18)

де [и(а>, є)^(є)] arg max (3.12) - (3.14).

Використовуючи співвідношення двоїстості, здобудемо:

4{x(e), [Mßr(w, є)и(ш, є) - ATv(e)]} = 0.

З (3.13) та останнього співвідношення випливає, що

М[Ь(со, є'), и(ю, є)] + aг,v(є) =

=(є - є')[МЬ((й)Мик((й, є) - МЬ(со)и^со, є)].

Таким чином, знак Т(у) - Т(0) залежить від знаку величини w = МЬ((й)Мщ((й, є) - МЬ((й)щ((й, є). Перетворимо w. Для цього з'ясуємо просту, але корисну властивість: з події

(0-[Д(ю, є)х(є)], < аг[В(со,є)х(є)]г,   (3.19) випливає подія

иг(со, є) = 0.   (3.20)

Дійсно, з (3.10), (3.15) маємо

г(ю, є) < аг_1[В(со, є)х(є)],».

Враховуючи співвідношення

[и(а>,є), B(w, є)х(є) - az(a>, є)] = 0 дістанемо (3.16).

Розглянемо тепер подію

ak'i[B(m, є)х(є)]к < min аі"1[5(ш, є)х(є)]і, (3.21)

де i Ф k.

Зазначимо, що імовірність досягнення рівності в (3.17), згідно з припущеннями теореми, дорівнює нулю.

Отже, з імовірністю 1 буде виконуватись нерівність кількісному, а тим більше у вартісному вираженні. Природно, що для кожного виду утрат вихідну оцінку можливості їхнього виникнення і вагу варто робити за певний час, що охоплює місяць, рік, термін здійснення підприємницької діяльності.

Перш ніж оцінювати ризик, що зумовлений дією сугубо випадкових факторів, украй бажано відокремити систематичні втрати від випадкових. Це необхідно і з позицій математичної коректності, тому що процедури дій з випадковими величинами істотно відрізняються від процедур дій з детермінованими величинами.

Розглянемо більш детально структуру втрат залежно від виду підприємницької діяльності, тобто виробничої, комерційної і фінансової діяльності. Знання факторів ризику дозволяє вживати завчасних заходів, що послаблюють їхню дію.

Розглядаючи випадкові втрати, укажемо на деякі специфічні їхні джерела і фактори, що впливають на їх виникнення. До них варто віднести втрати від дії непередбачених політичних факторів. Такі втрати породжують політичний ризик. Він виявляється у формі несподіваних, зумовлених політичними розуміннями і подіями змін умов господарської діяльності, що створюють несприятливий для підприємця фон і тим самим здатні привести до підвищених витрат ресурсів і втрати прибутку. Типові джерела такого ризику — збільшення податкових ставок, введення примусових відрахувань, зміна договірних умов, трансформація форм і відносин власності, відчуження майна і коштів за політичними мотивами. Величину можливих втрат і ступінь ризику в цьому випадку дуже важко передбачати. Досить близькі по непередбаченості втрати, що зумовлені стихійними лихами, а також злодійством і рекетом.

Дуже специфічні можливі втрати, спричинені недосконалістю методології і некомпетентністю осіб, що формують бізнес-план і здійснюють розрахунок прибутку і доходу. Якщо в результаті дії цих факторів величини очікуваних значень прибутку і доходу від підприємницького проекту будуть завищені, а реально одержані результати виявляться нижчими, то різниця сприймається як утрати.

Особливе місце займають утрати підприємця, що зумовлені несумлінністю чи неспроможністю компаньйонів. Ризик виявитися обманутим в угоді чи зіштовхнутися з неплатоспроможністю боржника, безповоротністю боргу, на жаль, досить реальний.

Охарактеризуємо втрати, потенційна можливість яких породжує економічний ризик.