Дослідження операцій і дискретний аналіз - Навчально-методичні матеріали (О.С. Катуніна)

Контроль знань студентІв

 

Контроль знань студентів з дисципліни «Дослідження операцій і дискретний аналіз» включає поточний і підсумковий.

Поточний контроль здійснюється на основі виконання лабораторних робіт та їх захисту, розв’язання практичних завдань.

Упродовж семестру студенти виконують чотири лабораторних роботи, використовуючи ПЕОМ. Після перевірки викладачем студенти захищають кожну виконану роботу. Якщо студент отримав позитивну оцінку, то з цією оцінкою йому зараховується той матеріал дисципліни, на основі якого виконана лабораторна робота.

Виконання та захист всіх лабораторних робіт і практичних завдань є основою для отримання заліку.

Підсумковий контроль — залік.

 

Теоретичні питання

 

Розділ 1. Дослідження операцій в економіці та управлінні

 

Цілі дослідження операцій в економіці.

Приклади типових задач дослідження операцій в економіці.

Структура та етапи операційних досліджень.

Економіко-математичні методи й моделі як базовий інструментарій дослідження операцій

Типологізація задач дослідження операцій. Структуровані, слабоструктуровані, неструктуровані задачі досліджень в економіці.

Проблеми та інструментарій розв’язання багатокритеріальних задач в економіці.

Проблеми й методи побудови сценаріїв розвитку зовнішнього соціально-економічного середовища щодо досліджуваного об’єкта.

Раціональний вибір в економіці та підприємництві. Аксіоматика раціональної поведінки активних елементів.

Дерева рішень.

Сутність і характеристики неструктурованих проблем як класу задач прийняття рішень.

Методи аналізу неструктурованих проблем.

Методи та технології отримання необхідної інформації.

Застосування суб’єктивних оцінок та експертних процедур у дослідженні операцій.

Розділ 2. Апарат дискретного аналізу в дослідженні операцій

 

Предмет дискретної математики.

Основні складові інструментарію дискретної математики.

Статистичні спостереження і показники як елементи математичної множини і підґрунтя щодо моделювання соціально-економічних процесів, аналізу інформаційного середовища в макро- та мікроекономіці, галузях і секторах економіки та в управлінні.

Основні поняття теорії множин.

Операції над множинами.

Відповідності.

Відображення та функції.

Відношення та їх властивості.

Відповідність статистичних спостережень реальному стану економічних явищ, що досліджуються.

Поняття функцій належності.

Поняття нечіткої множини.

Відношення домінування.

Найпростіші операції над нечіткими множинами.

Основні означення та загальні поняття комбінаторного аналізу.

Основні правила комбінаторики.

Розміщення. Сполучення. Перестановки. Комбінації.

Твірні функції та їх використання в комбінаторному аналізі.

Предмет і використання математичної логіки для аналізу, дослідження й моделювання взаємозв’язків у соціально-економічних процесах.

Логічні та семантичні парадокси.

Алгебра висловлювань, її основні закони.

Множини істинності.

Нормальні диз’юнктивні та нормальні кон’юнктивні форми.

Числення висловлювань.

Поняття числення, формули.

Аксіоматичний метод.

Логіка предикатів.

Предикати властивості та предикати відношення.

Числення предикатів.

Елементи теорії доведень на підґрунті раціональних гіпотез щодо економічних процесів та систем.

Приклади застосування теорії графів у різних галузях економічної діяльності.

Аналіз ієрархії, структури та функціональних зв’язків у соціально-економічних процесах за допомогою теорії графів.

Відношення на множинах та графи.

Операції над графами.

Характеристики внутрішньої та зовнішньої стійкості графів.

Матриці графів.

Відстані та шлях у графах.

Основні типи графів.

Дерева та їх властивості.

Перетворення орієнтованих функціональних графів.

Транспортні мережі.

Задачі про максимальний потік.

Економічні задачі оптимізації на графах і мережах.

Нечіткі графи та нечіткі відношення.

Методи побудови та дослідження математичних моделей соціально-економічних систем на базі числових експериментів.

Основні поняття, що пов’язані з похибками обчислень.

Апроксимація функцій.

Сплайни.

Поняття про наближені функції.

Використання рядів.

Інтерполяція.

Процедури сингулярного розкладу та їх використання в задачах дослідження операцій.

Методи чисельного диференціювання та інтегрування.

Прямі методи розв’язання систем лінійних рівнянь.

Задачі на знаходження власних векторів і власних значень.

Методи зниження розмірностей та класифікацій в економічних дослідженнях.

Нелінійні рівняння та ітераційні методи їх розв’язання.

 

Розділ 3. Економіко-математичні методи і моделі дослідження операцій

 

Що вивчає дисципліна «Дослідження операцій» (ДО)? Наведіть декілька прикладів економічних задач, що можуть бути розв’язані методами ДО. Як розуміти термін «операція»?

Класифікація методів ДО, їх коротка характеристика. Приклади економічних задач до різного типу моделей ДО.

Загальна постановка задачі лінійного програмування (ЛП). Приклади економічних задач ЛП.

Модель задачі ЛП у розгорнутому і скороченому вигляді, а також у матричній і векторній формах.

Властивості розв’язків задачі ЛП. Геометрична інтерпретація задач ЛП.

Означення планів задачі ЛП (допустимий, опорний, оптимальний).

Побудова опорного плану задачі ЛП, перехід до іншого опорного плану.

Теорема про критерій оптимальності розв’язку задачі ЛП.

Знаходження оптимального розв’язку задачі ЛП. Алгоритм симплексного методу.

Симплексний метод зі штучним базисом. Ознака оптимальності плану зі штучним базисом.

Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.

Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.

Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.

Застосування теорем двоїстості в розв’язанні задач лінійного програмування.

Методи розв’язання двоїстої задачі ЛП.

Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.

Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.

Аналіз коефіцієнтів цільової функції задач ЛП.

Транспортна задача лінійного програмування (ТЗ). Економічна й математична постановка транспортної задачі.

Методи побудови опорних планів ТЗ. Випадок виродженості. Теорема про умову існування розв’язку ТЗ.

Двоїста задача до транспортної задачі. Метод потенціалів.

Розв’язування транспортної задачі методом потенціалів.

Відкриті транспортні задачі. Метод розв’язання.

Цілочисельне програмування. Область застосування цілочисельних задач в плануванні й управлінні виробництвом.

Геометрична інтерпретація задачі цілочисельного програмування.

Метод Гоморі розв’язання повністю цілочисельних задач. Знаходження цілої й дробової частини числа. Алгоритм розв’язання задачі.

Постановка задачі нелінійного програмування (НЛП), математична модель. Геометрична інтерпретація.

Графічний метод розв’язання задач НЛП.

Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язання задачі на безумовний екстремум.

Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.

Сідлова точка та необхідні й достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.

Квадратична функція та її властивості.

Математична модель задачі опуклого програмування з сепарабельною цільовою функцією.

Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.

Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування та їх класифікація.

Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв’язання.

Сепарабельна функція та її властивості. Розв’язання задач НЛП методом кусково-лінійної апроксимації.

Математична постановка задачі динамічного програмування, її економічний зміст. Принцип оптимальності Белмана.

Основні рекурентні співвідношення розв’язання задач динамічного програмування.

Методи розв’язання задач динамічного програмування. Основні кроки алгоритму розв’язання задачі динамічного програмування.

Математична постановка задачі стохастичного програмування і сфера їх застосування в управлінні виробничими системами.

Класифікація задач стохастичного програмування. Приклади М-задач; V-задач; MV-задач.

Зведення розв’язання одноетапної статичної задачі стохастичного програмування до детермінованої задачі лінійного програмування.

Основні поняття теорії ігор. Гра двох гравців з нульовою сумою, правила гри, ціна гри, пара оптимальних стратегій для двох осіб.

Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.

Гра в чистих стратегіях. Поняття сідлової точки та її знаходження.

Гра 2 х 2 в змішаних стратегіях. Алгоритм розв’язання задачі.

Зведення гри двох осіб до задачі лінійного програмування.

 

Критерії оцінки знань студентів

 

Завдання на залік включають 5 питань та 5 задач і оцінюються за 100-бальною шкалою (10, 5, 0 балів за кожне питання чи задачу) з подальшим переведенням її в традиційну форму для фіксації оцінки в нормативних документах університету, а саме:

оцінка «задовільно» — 50 — 65 балів;

оцінка «добре» — 70 — 85 балів;

оцінка «відмінно» — 90 — 100 балів.

10 балів виставляється студенту, який в повному обсязі відповів на поставлені запитання, при цьому продемонстрував: глибокі знання усієї програми вказаної дисципліни; вміння використовувати теоретичні знання в практичному розв’язанні операційних дослідницьких задач із застосуванням економіко-математичних методів і моделей; виконав усі лабораторні та практичні завдання.

5 балів виставляється студенту, який також у повному обсязі відповів на поставлені запитання, але ці відповіді свідчать про поверхове знання програмного матеріалу; виявив недостатній рівень теоретичних знань при розв’язанні практичних задач; припускав помилки, які не впливають на кінцевий результат; виправляв у тексті відповіді, використовував нераціональні методи при вирішенні практичних завдань.

0 балів виставляється студенту, якщо він не відповів на запитання в повному обсязі програми курсу, не продемонстрував твердих знань з теоретичних питань, припускався грубих помилок в обчислювальних алгоритмах і практичних прикладах, які впливають на кінцеві результати.