Курс економічного аналізу - Навчальний посібник (Івахненко В. М.)

8.2. оптимізація розподілу ІнвестицІйних ресурсів мІж проектами

Задача лінійного програмування

Задача розподілу інвестиційних ресурсів між проектами в термінах лінійного програмування записується таким чином:

Максимізувати

                      (8.1)

при обмеженнях:

            ,  t = 1, 2, …, T    (8.2)

            ,        (8.3)

де xj — частка проекту j, що приймається;

bj — ЧТВ проекту j в період його існування;

сjt — інвестиції, необхідні проекту j в році t;

Kt — фінансові ресурси в році t;

N — кількість проектів.

Фірма хоче вибрати множину проектів, які мали б максимальну сумарну ЧТВ за умови додержання всіх обмежень.

Тут слід зазначити, що в даному формулюванні задачі роз- поділу інвестицій між проектами в термінах лінійного програмування:

дозволяється приймати частину проекту, тому що змінна xj — неціла;

використання обмеження невід’ємності xj (0 £ xj £ 1) показує вищий ліміт кожного проекту, тобто кожен проект може мати максимальну частку, що дорівнює 1, або що він приймається на 100\%;

передбачається, що всі вхідні параметри — bj, cjt та Kt — ОПІР оцінює в умовах визначеності;

параметр bj показує ЧТВ проекту j упродовж терміну його існування, де всі грошові потоки дисконтуються за вартістю капіталу фірми;

вартість cjt в бюджетному обмеженні не дисконтується назад до періоду 0, тому що бюджетні фонди оцінюються в грошових одиницях з вартістю t-го року.

● Приклад 1. Постановка задачі оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами

Фірма має портфель, що складається з 9 проектів. Вона оцінила ЧТВ і обсяги інвестування кожного проекту упродовж 2 років таким чином:

Проект

NPVj

C1j

C2j

1

$24

$12

$3

2

17

65

7

3

19

8

6

4

16

8

7

5

40

35

40

6

11

7

7

7

18

50

7

8

10

33

3

9

14

21

5

Але фірма має обмежені фінансові ресурси для інвестування проектів: на рік 1 — $150, на рік 2 — $40. Сформулюйте задачу оптимального розподілу інвестицій між проектами в термінах лінійного програмування.

Розв’язання.

Постановка цієї задачі в термінах лінійного програмування формулюється таким чином:

максимізувати

NPV = 24x1 + 17x2 + 19x3 + 16x4 + 40x5 + 11x6 + 18x7+10x8 +14x9

при обмеженнях:

12x1 +65x2 + 8x3 + 8x4 + 35x5 + +7x6 + 50x7 + 33x8 + 21x9 + S1 = = 150

бюджетне обмеження для року 1;

 

3x1 + 7x2 + 6x3 +7x4 +40x5 + 7x6 + + 7x7 + 3x8 + 5x9 + S2 = 40

бюджетне обмеження для року 2;

 

 

x1 + S3=1;

x4 + S6 = 1;

x7 + S9 = 1;

верхні межі прийняття проекту

 

x2 + S4=1;

x3 + S5 = 1;

x5 + S7=1;

x6 + S8 = 1;

x8 + S10 = 1;

x9 + S11 = 1;

xj, Sі ³ 0,  і = 1, 11;  j = 1, 9

обмеження невід’ємності.

 

Штучні змінні S1 і S2 являють собою кількість бюджетних кош­тів за 1 та 2 роки відповідно, що залишаються нерозподіленими в будь-який з 9 проектів.

Штучні змінні з S3 по S11 являють собою частки проектів 1—9 відповідно, що не приймаються фірмою.

Pозглянемо модифіковану постановку задачі оптимального розподілу інвестицій між проектами. Сенс модифікації полягає в тому, що крім бюджетних обмежень по періодах та обмежень на прийняття проектів, вводяться додаткові обмеження, наприклад, на обіговий капітал — W, управлінські витрати — M, витрати на екологію тощо.

Максимізувати

при обмеженнях:

, t = 1, 2, …, T

;

;

;

,

де xj — частка проекту j, що приймається;

bj — ЧТВ проекту j в період його існування;

сjt — інвестиції, необхідні проекту j в році t;

Kt — інвестиційні ресурси в році t;

N — кількість проектів;

wj — обіговий капітал для проекту j;

mj — управлінські витрати на проект j;

pj — витрати на охорону навколишнього середовища проекту j;

W — обіговий капітал;

М — управлінські витрати;

Р —витрати на охорону навколишнього середовища.

Двоїста задача оптимізації розподілу інвестицій між проектами в термінах лінійного програмування дає важливу інформацію фінансовому менеджеру в процесі прийняття інвестиційних рішень.

Загальне формулювання двоїстої задачі, що відповідає формулюванню основної задачі (8.1)—(8.3), є таким:

Мінімізувати

при обмеженнях:

,

де ρt — вартість ресурсу t;

γj — перевищення ЧТВ проекту j(bj) над потрібним використанням ресурсів (Cjt), коли вони оцінюються за вартістю ρt для кожного ресурсу t.

Задача цілочисельного програмування

Основні причини використання цілочисельного програмування (ЦП) для розв’язання задачі оптимального розподілу інвестицій між проектами полягають ось у чому:

Труднощі, що виникають при прийнятті часткових інвестиційних проектів, як це було в задачі лінійного програмування, зникають, бо цілочисельне програмування потребує, щоб проекти приймались або цілком, або відхилялися;

Всі взаємозалежності між проектами можуть бути включені до обмежень задачі цілочисельного програмування, в той час як це неможливо зробити в задачі лінійного програмування через існування часткових проектів.

Загальна постановка задачі:

            Максимізувати           (8.4)

при обмеженнях:

               (8.5)

            .      (8.6)

На відміну від формулювання задачі лінійного програмування, в цій постановці Xj набувають цілих значень 0 або 1. Якщо Xj = 1, то проект приймається, якщо Xj = 0 — відхиляється.

При використанні простих моделей оцінки інвестиційних проектів — ЧТВ, ВСП та ІП — припускалося, що всі інвестиційні проекти незалежні один від одного, тобто грошові потоки проектів не взаємопов’язані між собою, не впливають або не змінюють потоки один одного при прийнятті деяких з них.

При використанні постановки задачі оптимізації розподі- лу інвестицій між проектами в термінах цілочисельного програмування будь-які взаємозалежності між проектами можуть бути введені до моделі шляхом використання спеціальних обмежень.

У розділі 3 відзначалися три види залежностей між проекта- ми — альтернативні, доповнюючі та залежні.

Альтернативні проекти — це проекти, прийняття одного з яких виключає прийняття будь-якого іншого.

В задачі ЦП існування таких проектів описується обмеженням:

            ,        (8.7)

де J — множина альтернативних проектів.

Це обмеження показує, що або лише один проект обирається з множини J, або жоден. Але якщо потрібно вибрати все-таки один проект з множини проектів J, то обмеження записується як:

            .        (8.8)

Важливим застосуванням даного обмеження є ситуація, коли фірма бажає відкласти прийняття проекту на один чи більше років. Розглянемо приклад.

Нехай є проект Х з грошовими потоками

 

Рік

Грошові потоки проекту Х

0

– $100

1

+ 75

2

+ 75

3

+ 75

 

ЧТВ проекту при ставці дисконту 10\% дорівнює $86.51. Якщо фірма хоче визначити, чи бажано відкласти прийняття проекту на 1 або 2 роки, необхідно ввести два нові варіанти проекту Х-проек­ту Х1 та X2:

Рік

Грошові потоки

Х1

Х2

0

$ 0

$0

1

– 100

0

2

+ 75

– 100

3

+ 75

+ 75

4

+ 75

+ 75

5

 

+ 75

 

ЧТВ проектів Х1 та Х2 при вартості капіталу фірми 10\% дорівнюватимуть відповідно $78.66 та $ 71.50.

Для того, щоб вибрати один з трьох варіантів проекту, необхідно записати таке обмеження:

Х1 + Х2 + Х = 1.

Залежні проекти — це такі проекти, прийняття одного з яких обумовлює попереднє прийняття інших проектів. Наприклад, якщо проект А не приймається без попереднього прийняття проек­ту В, то проект А є залежним від проекту В. Така залежність описується обмеженням:

            ХА £ ХВ.       (8.9)

● Приклад 2. Обмеження, що описують взаємозалежність між проектами в задачі ЦП

Сформулювати відповідні обмеження задачі ЦП для кожного з випадків:

1. Два проекти (6) і (8) є альтернативними, а третій проект (16) є залежним від даних проектів і повинен бути прийнятий або за умови прийняття проекту (6), або (8).

2. Проект (10) не приймається , якщо не будуть прийняті проекти (7) і (9).

3. Якщо з множини альтернативних проектів (1), (2), (3), (4) і (5) не більше трьох будуть прийняті, то проект (11) приймається за умови, що з даної множини проектів будуть прийняті не більше двох, а проект (14) — коли не більше трьох.

Розв’язання.

Визначаються два обмеження:

— альтернативність проектів (6) і (8)

;

— умова залежності прийняття проекту (16) від прийняття або проекту (6), або (8)

.

2. Тут достатньо одного обмеження типу (8.9), щоб описати цю залежність:

.

3. Потрібно визначити три обмеження: одне для прийняття не менше трьох проектів з множини проектів, та по одному для виз­начення залежності між проектами 11 та 14 та множиною проектів.

;

;

.

Останній тип проектів — доповнюючі проекти, тобто такі, коли прийняття одного проекту впливає на грошові потоки одного або більше проектів.

Припустимо, що є два взаємно доповнюючих проекти (7) і (8). Будь-який з цих проектів може бути прийнятий окремо, однак якщо обидва вони прийматимуться, то інвестиції меншають, а грошові надходження зростають.

Для розв’язання проблеми слід ввести новий проект, наприклад (78), який матиме первинні інвестиції в розмірі 90\% від сумар­них інвестицій у проекти (7) і (8), а ЧТВ — у розмірі 115\% від суми ЧТВ обох проектів. Крім того, треба виключити прийняття одночасно обох проектів (7) і (8) і проекту (78), який є об’єд­нанням перших двох:

.

Розглянемо складніший приклад, що продемонструє можливості формування оптимального портфеля інвестиційних проектів за допомогою задачі ЦП.

● Приклад 3. Повне формулювання задачі ЦП

Фірмі потрібно сформувати оптимальний портфель інвестиційних проектів. Вона оцінює 12 інвестиційних проектів з життєвим циклом 3 роки.

Фірма має обмеження на обсяги щорічного інвестування цих проектів: у 1-й рік обсяг інвестицій в проекти не повинен перевищувати $250 тис., у 2-й рік — $450 тис., у 3-й рік — $300 тис.

Між проектами існують такі взаємозв’язки:

1. З множини проектів 5, 7 і 9 можна прийняти два;

2. Проекти 4 і 8 є альтернативними, але один з них потрібно прийняти;

3. Проект 11 не приймається без прийняття проектів 1 та 3;

4. Проект 1 може бути відкладений на 1 рік за умови незмінності обсягів інвестування, але ЧТВ при цьому зменшиться до $30 тис.;

Проект

Інвестиції (тис. $)

ЧТВ (тис. $)

C1j

C2j

C3j

1

38

80

0

35

2

45

60

10

38

3

74

50

24

29

4

29

43

8

35

5

40

29

12

27

6

53

38

54

36

7

0

62

48

54

8

0

54

45

36

9

12

34

60

44

10

0

29

35

29

11

20

35

14

36

12

60

27

35

47

5. Проекти 2 і 7 та проекти 10 і 12 розглядаються як об’єднані, причому загальні інвестиції зменшуються на 15\%, а ЧТВ збільшується на 10\% у порівнянні з сумарними показниками окремих проектів;

6. Хоча б один з об’єднаних проектів доцільно прийняти.

Сформулюйте задачу визначення оптимального портфеля інвестиційних проектів у термінах ЦП.

Розв’язання.

Вводимо три нові змінні:

Х13 — для визначення відкладення проекту 1 на 1 рік;

Х14 — для визначення об’єднаних проектів 2 і 7;

Х15 — для визначення об’єднаних проектів 10 і 12.

Тепер сформулюємо задачу ЦП:

при обмеженнях:

з множини проектів 5, 7 і 9 можна прийняти два:

;

проекти 4 і 8 є альтернативними, але один з них обов’язково приймається :

;

проект 11 не приймається без прийняття проектів 1 і 3:

;

або

;

тільки один з проектів – 1 або 13 треба прийняти:

;

один з проектів 2, 7 або об’єднаний проект 14 можна прийняти:

;

один з проектів 10, 12 або об’єднаний проект 15 можна прийняти:

;

хоча б один з об’єднаних проектів треба прийняти:

, .

Можливість включення обмежень для опису взаємозв’язків проектів робить постановку задачі ЦП реалістичнішою, ніж задачі ЛП. Але незважаючи на незначні зміни в постановці (вимога цілочисельності), алгоритми розв’язання задачі ЦП значно склад­ніші та довші в часі.

Основні терміни: задача оптимального розподілу фінансових ресурсів між проектами в термінах лінійного програмування; задача оптимального розподілу фінансових ресурсів між проектами в термінах цілочисельного програмування.

ЗАВДАННЯ

1. Компанія має 10 проектів з такими характеристиками. Проекти 2, 4 і 5 — альтернативні. Якщо проект 7 приймається, проект 4 також повинен бути прийнятим. З множини проектів 1, 6, 8 і 10 два обов’язково приймаються. Проект 8 не приймається без прийняття проектів 3 і 9. Якщо проекти 5 і 9 приймаються обидва, їх витрати в комбінації становлять 90\% витрат двох окремих проектів. Крім того, компанія має прийняти як мінімум 5 проектів з 10, що пропонуються.

Сформулюйте для компанії відповідні обмеження задачі ЦП.

2. Фірма оцінює такі 8 проектів:

Проект

Інвестиції ($)

ЧТВ ($)

C1j

C2j

C3j

1

175

180

100

75

2

250

175

140

80

3

350

100

240

95

4

200

430

280

100

5

400

290

220

120

6

150

170

150

65

7

230

160

225

85

8

170

145

50

25

Бюджетні обмеження за обсягами інвестування: рік 1 — $2000, рік 2 —$1200, рік 3 — $1000.

Між проектами існують такі взаємозв’язки:

Або 4, або 5 проект приймається, не обидва;

Якщо проект 5 приймається, проект 2 — ні;

Якщо проект 4 приймається, то обов’язково приймається проект 7;

Проекти 7 і 8 альтернативні;

Якщо проекти 3 і 6 об’єднуються, сумарна ЧТВ зростає на 30\%, а інвестиції знижуються на 15\%.

Сформулюйте постановку задачі ЦП.