5.3. абсолютнІ І вІдноснІ мІри ризику

Абсолютні міри ризику:

ранг;

середнє абсолютне відхилення;

дисперсія, середньоквадратичне відхилення;

напівдисперсія.

Нехай дискретна випадкова величина R має таку функцію розподілу імовірностей:

Р(Ri) = F(R = Ri),       (5.1)

яка показує, що випадкова величина R набуде значення Ri з імовірністю Р(Ri).

Ранг значень випадкової величини R вимірює загальну мін­ливість в можливих значеннях випадкової величини і визначається як різниця між найбільшим і найменшим значеннями випадкової величини.

Якщо Rg — ранг випадкової величини R, то:

(5.2)

Для того, щоб перейти до розгляду інших абсолютних мір ризику, введемо поняття сподіваного значення випадкової величини.

Сподіване значення (математичне сподівання) випадкової величини R є мірою ризику, який очікується в середньому:

,     (5.3)

де Ri — значення випадкової величини R;

pi — імовірність того, що випадкова величина R набуде значення Ri.

Дисперсією дискретної випадкової величини, яка позначається як s2, називається математичне сподівання квадрата відхилень значень випадкової величини Rі від її математичного сподівання — .

.        (5.4)

Середньоквадратичне відхилення позначається літерою s і дорівнює:

           (5.5)

Середнім абсолютним відхиленням дискретної випадкової величини R — MAD — називається математичне сподівання модуля відхилення значень випадкової величини від її математичного сподівання, тобто:

.     (5.6)

Напівдисперсія — SV — випадкової величини R — це математичне сподівання квадрата відхилень значень випадкової величини, нижчої за середню, від її математичного сподівання, тобто:

,       (5.7)

де j — номер індексу значень випадкової величини R, нижчої за її математичне сподівання;

К — кількість значень випадкової величини нижчої від середньої.

У відносному вимірюванні міра ризику вимірюється коефіцієн­том варіації n випадкової величини R:

. (5.8)

● Приклад 1. Вимірювання ризику

Компанія Альфа визначає умови ризику в термінах стану економіки. Настання сильного економічного зростання вона оцінює з імовірністю 0.3, середнього економічного зростання — з імовірніс­тю 0.5 і слабкого — з імовірністю 0.2.

Грошові надходження від інвестицій у три проекти передбачаються такими:

Визначити абсолютні і відносну міри ризику трьох проектів.

Розв’язання.

1. Ранг.

Використовуємо формулу (5.2) для визначення рангу проектів. Для проекту А:

 = max(1800, 1500, 800) = $1800;

= min(1800, 1500, 800) = $800;

 =  –  = $1800 — $800 = $1000.

Значення рангу проекту А означає, що максимальне значення грошових надходжень відрізняється від мінімального на $ 1000.

Аналогічно визначаються ранги проектів В і С, які дорівнюють відповідно RgB = $800 та RgC = $1100.

Найменш ризикованим за даним критерієм є проект В, що має мінімальний розкид з усіх проектів — $800.

2. Сподіваний (середній) грошовий потік:

.

Аналогічно = $1280 і = $1580.

3. Середнє абсолютне відхилення:

Аналогічно визначається MADB = $192 і MADC = $260.

Найменше ризикований з всіх проектів — проект В, що має мінімальне середнє абсолютне відхилення.

4. Дисперсія — s2.

Розрахуємо дисперсію для проекту А:

Аналогічно  = 49600 і  = 145600.

Мінімальне значення дисперсії грошових надходжень як міри ризику має проект В, тому він менш ризикований з усіх.

5. Стандартне відхилення — s:

 = $223 і  = $382.

Мінімальне значення стандартного відхилення як міри ризику має проект В.

6. Напівдисперсія — SV:

SVB = $18880; SVC = $92480.

За даним критерієм проект В знову є менш ризикованим, оскільки має мінімальне з-поміж усіх значення напівдисперсії.

Іноді співвідносять значення напівдисперсії і повної дисперсії випадкової величини і виражають це співвідношення у відсотках як міру нижньої межі ризику.

Так, наприклад, співвідношення:

(SVA/) 100\% = (84500/122500)100\% = 68.98\%.

Аналогічні співвідношення для проектів В і С дорівнюють відповідно 38.06\% і 63.51\%.

7. Коефіцієнт варіації — n.

Коефіцієнт варіації показує міру ризику, що вимірюється стандартним відхиленням на $1 очікуваних прибутків. Тобто, чим нижчим є коефіцієнт варіації, тим меншим є значення віднос­ного ризику:

nB = 0.1742; nC = 0.2418.

Проект В має найменший коефіцієнт варіації і тому є найменш ризиковим.

5.4. Метод еквівалента певності (МЕП)

В основі методу еквівалента певності (МЕП) лежить ідея, що фінансовий менеджер може передбачити рівні ризику отримання грошових надходжень від інвестицій у період існування проекту.

Беручи до уваги обмеження економічного прогнозування, буде слушним передбачити, що оцінки грошових потоків більш ранніх періодів точніші, ніж оцінки останніх років періоду.

Коли використовується метод ЕП, сподівана вартість розподілу імовірностей грошових надходжень проекту в період t множиться на коефіцієнт еквівалента певності (КЕП), який ми виз­начимо як a. Даний коефіцієнт перетворює ризиковані сподівані грошові надходження проекту в безризикові чи безпечні грошові надходження.

КЕП має значення від 0 до 1. Чим вище КЕП, тим більша частина сподіваних грошових надходжень у період t вважається мене­джером безризикованою.

Оскільки в методі ЕП за допомогою КЕП ризик компенсується цілковито за визначенням, то дисконтування безризикових грошових потоків доцільно здійснювати за безризиковою ставкою, а не за вартістю капіталу фірми.

Безризикова ставка прибутковості звичайно асоціюється зі ставками прибутковості державних цінних паперів, оскільки вони є короткостроковими і мають гарантований прибуток і обов’язкову виплату номіналу при погашенні. Безризикові ставки прибутковості є точним відображенням вартості грошей у часі.

Коли обговорювався метод ЧТВ, в ролі ставки дисконту грошових потоків використовувалася вартість капіталу фірми, яка відображала її нормальний рівень ризику і включала в себе безризикову ставку і ставку, необхідну для компенсації комерційного і фінансового ризиків. З допомогою КЕП компенсується фінансовий і комерційний ризик отримання відповідних грошових надходжень, які потім дисконтуються за безризиковою ставкою дисконту.

Модель ЕП визначається таким рівнянням:

(5.9)

де – сподівана ЧТВ проекту з урахуванням ЕП;

 — сподівані грошові потоки в період t;

at — коефіцієнт еквівалента певності в період t;

i — безризикова ставка прибутковості (вважається постійною в період існування проекту);

n — кількість років існування проекту.

Зазначимо, що підхід ЧТВ об’єднує разом процес дисконтування та управління ризиком, у той час як метод ЕП дезагрегує процес управління ризиком за допомогою КЕП і дисконтування вартості грошей у часі за безризиковою ставкою.

Для використання методу ЕП важливо мати процедуру визначення КЕП. Спочатку здійснюється ретроспективний вибір інвестиційних проектів за їх основними видами — інвестиційні проекти із заміни основних фондів, з розширення виробничих потуж­ностей, досліджень і розробок, які в свою чергу розділяються на кілька категорій. Потім усередині кожної категорії на щорічній основі визначаються рівні ризику і прибутковості. Результатом даного аналізу є узагальнені розподіли ймовірностей грошових надходжень проектів, на основі яких визначаються коефіцієнти варіації. КЕП для кожного року і для кожної категорії проекту задається згідно з інтервалами значень коефіцієнтів варіації.

● Приклад 2. МЕП

Компанія XYZ розробила значення КЕП і використовує їх в оцінці нового інвестиційного проекту з такими сподіваними прибутками і стандартними відхиленнями протягом 4-х років:

Первинні інвестиції дорівнюють $3000, а безризикова став- ка — 6\%.

Визначте .

Розв’язання.

Використовуємо для визначення сподіваної ЧТВ —  формулу (5.9):

Оскільки  > 0, то проект може бути прийнятий.

Якщо ми передбачаємо, що безризикова ставка не зберігається постійною в період існування проекту, рівняння (5.9) може бути представлене в загальнішому вигляді (рівняння 5.10):

         (5.10)

де ik — безризикова ставка в році k.

5.5. Метод ставки дисконту з урахуванням ризику

Основна ідея методу ставки дисконту з урахуванням ризику полягає в тому, що грошові надходження проектів, що мають велику мінливість (ризик) у своїх розподілах імовірностей, повинні дисконтуватися за більш високими ставками дисконту, ніж проекти, що мають меншу мінливість у своїх грошових надходженнях.

Будь-який проект, який має ризик, повинен дисконтуватися за ставкою, що перевищує безризикову ставку, для того, щоб врахувати як вартість грошей у часі, так і ризик, пов’язаний з проектом (премію за ризик).

Грошові надходження проектів, ризик яких не виходить за межі нормального, повинні дисконтуватися за вартістю капіталу фірми; грошові надходження проектів, ризик отримання яких перевищує нормальний ризик, повинні дисконтуватися за ставкою, що перевищує вартість капіталу фірми; грошові надходження проектів, що мають ризик менший, ніж ризик нормальних операцій фірми, повинен дисконтуватися за ставкою, величина якої перебуває між безризиковою і вартістю капіталу.

Ставка дисконту з урахуванням ризику визначається з рівняння (5.11):

r = i + u + а,    (5.11)

де r — ставка дисконту з урахуванням ризику;

i — безризикова ставка;

u — доповнення до нормального ризику;

а — доповнення понад (або нижче) нормального ризику.

Зазначимо, що сума (i + u) — це вартість капіталу фірми. Значення а може бути позитивним або негативним, залежно від того, чи має проект ризик вищий від нормального. Наведене нижче рів­няння (5.12) може бути застосоване для визначення сподіваної ЧТВ проекту з урахуванням ризику:

,           (5.12)

де  — сподівана ЧТВ проекту з урахуванням ризику;

 — сподівана вартість грошових потоків проекту в році t;

r — ставка дисконту з урахуванням ризику;

n — кількість років існування проекту.

● Приклад 3. Обчислення

Фірма оцінює проект заміни обладнання, що має такі розподіли грошових потоків:

Безризикова ставка — 10\%.Визначте сподівану ЧТВ проекту з урахуванням ризику, якщо u + a = 4\%.

Розв’язання.

1. Визначаємо сподівані значення грошових потоків проекту:

2. Визначаємо ставку дисконту з урахуванням ризику — r:

r = 10\% + 4\% = 14\%.

3. Підставляємо всі розраховані значення до формули (5.12):

Оскільки  > 0, то цей проект може бути взятим до реалізації.

Метод ставки дисконту з урахуванням ризику не дозволяє враховувати зміну міри ризику в період існування проекту, ос­кільки передбачає встановлення однакової премії за ризик на весь період існування проекту.

Метод ЕП вимагає оцінки міри ризику в кожен період існування проекту. Врахування міри ризику в методі ставки дисконту з ризиком (безризикова ставки плюс премія за ризик) уможливлює високі постійні ставки дисконту протягом усього періоду існування проекту, причому міра ризику проекту невпинно зростає з плином часу.

5.6. Визначення стандартних відхилень розподілів імовірностей грошових надходжень інвестиційних проектів

Будь-яка випадкова величина, представлена розподілом імовір­ностей, має математичне сподівання та стандартне відхилення. Річні грошові надходження інвестиційних проектів — це також випадкові величини з відповідними розподілами ймовірностей, що мають відповідні математичні сподівання і стандартні відхилення. Оскільки з попередніх розділів відомо, як розрахувати сподівані значення  і , то нам залишається показати методи обчислення стандартного відхилення —  або  і як ця статистика використовується для визначення привабливості інвестиційних проектів.

При визначенні стандартного відхилення розподілу  або  як початкові дані використовуються стандартні відхилення розподілів щорічних грошових надходжень проектів і міра кореляції між розподілами грошових потоків у період існування проекту. Цей останній аспект, тобто кореляція між розподілами грошових потоків, відіграє важливу роль у визначенні  і  оскільки рівень взаємозв’язку може збільшувати або зменшувати ризик.

Випишемо загальну формулу визначення дисперсії суми трьох випадкових величин X, Y і Z, кожна з яких помножена на константу (a, b і с ) відповідно:

         (5.13)

де , ,  — дисперсії випадкових величин X, Y, Z;

sX, sY, sZ — стандартні відхилення випадкових величин X, Y, Z;

rX, Y, rX, Z, rY, Z — коефіцієнти кореляції між парами випадкових величин.

Зазначимо, що перші три складові дисперсії суми трьох випадкових величин показують внесок дисперсій трьох випадкових величин, а останні три — внесок коваріацій між усіма парами випадкових величин.

Тепер припустимо, що випадкові змінні X, Y і Z — це грошові надходження інвестиційних проектів відповідно в роки 1, 2 і 3; аналогічно константи a, b і с — процентний фактор теперішньої вартості відповідно в роки 1, 2 і 3, що відображає вартість грошей у часі при даній безризиковій ставці, тобто:

Тоді, виходячи з цього, можна зробити два припущення про взає­модію грошових надходжень проекту в період його існування — (1) потоки щорічних грошових надходжень проекту є незалежними і (2) потоки щорічних грошових надходжень абсолютно залежні.

Розглянемо кожен випадок.

Випадок 1. Незалежні потоки щорічних грошових надходжень проекту

Незалежність грошових потоків означає, що між ними не може існувати будь-якої систематичної залежності, а тільки випадкова залежність.

Подібний вид залежності грошових потоків може зустрічатися на ринках з високою конкуренцією, де відсутні торгові марки, реклама тощо, де екзогенні ринкові сили формують ринковий попит. Тому мінливість грошових потоків у період існування проекту знижуватиметься завдяки відмові від грошових потоків, вищих або нижчих від сподіваних.

За даного припущення всі парні коефіцієнти кореляції між грошовими потоками дорівнюватимуть 0. Тому останні три доданки в формулі дисперсії суми трьох випадкових величин теж дорівнюватимуть 0. Формула (5.13) набуває такого вигляду:

;

            .      (5.14)

Випадок 2. Абсолютно залежні потоки щорічних грошових надходжень проекту

За даного припущення вважається, що при відповідному значенні грошового потоку першого року всі подальші грошові надходження є зумовленими. Такий взаємозв’язок між грошовими потоками може існувати на ринках з монополістичною конкурен­цією, переповнених торговими марками, могутньою рекламою, та ще й з обмеженим входженням на ринок тощо. Мінливість тут буде більшою, ніж у випадку 1. Це пов’язано з тенденцією зростання ризику, викликаною позитивною кореляцією, яка виникає через нестачу протидіючих дисперсій, вищих або нижчих від середніх у період існування проекту.

У цьому разі передбачається, що всі парні коефіцієнти кореляції між щорічними грошовими надходженнями проекту дорівнюють + 1.0. Тоді рівняння (5.13) перетворюється у таке:

.     (5.15)

Виникає питання, яким чином може бути визначена міра взаємодії між грошовими потоками проектів?

Тут можна зробити ряд висновків, виходячи із значення, наприклад .

1.  набуває свого максимального значення за умови абсолютної залежності між розподілами ймовірностей щорічних грошових потоків проектів.

2. Певне помірне значення  з’являється при припущенні незалежності грошових надходжень.

3. =0 при припущенні, що грошові надходження цілком негативно корельовані.

В процесі оцінки інвестиційних проектів  або  необхідно обчислювати при припущеннях незалежності і цілковитої залежності потоків грошових надходжень.

Виходячи зі своїх кривих корисності та оцінок міри взаємодії потоків грошових надходжень, фірма залишає чи відкидає інвестиційний проект.

● Приклад 4. Оцінювання двох інвестиційних проектів з викорис­танням методу еквівалента певності

Нехай проект А має первинні інвестиції $200, 3-річний період існування і наступні розподіли грошових надходжень за періодами:

Фірма також оцінює проект D з первинними інвестиціями $300, 3-річним періодом існування і наступними розподілами грошових надходжень за періодами:

Безризикова ставка — 6\%.

Фірма передбачає такі коефіцієнти еквівалента певності для двох проектів:

Розв’язання.

1. Обчислюємо сподівані грошові надходження , t =  і стандартні відхилення  для кожного року для проектів A і D.

.

Проект A:

 = $100(0.10) + $120(0.20) + $140(0.40) + + $160(0.20)+ $180(0.10) = $140.

Аналогічно визначаємо = $120;  = $108.

проект D:

2. Визначаємо дисперсії щорічних потоків грошових надходжень для проектів A і D.

Проект A:

звідки s1 = $21.91.

Аналогічно визначаємо s2= $45.61 i s3= $69.54.

проект D:

s1 =$ 21.90; s2 = $19.39; s3 = $14.09.

3. Розрахуємо чисту теперішню вартість безризикових грошових потоків проектів А і D за формулою (5.9).

4. Обчислення  проектів A і D при припущенні незалежнос­ті потоків грошових надходжень за формулою:

Проект A:

проект D:

 = $29.40.

5 .Обчислення  проектів A і D при припущенні цілковитої залежності потоків грошових надходжень.

Проект A:

Проект D:

= $49.75.

6. Визначення коефіцієнтів варіації проектів A і D.

6.1. Для незалежних грошових надходжень.

Проект D в 1.3 раза ризикованіший на $1 сподіваного доходу, ніж проект A.

6.2. Для цілковито корельованих грошових надходжень.

Проект D в 1.3 раза ризикованіший на $1 сподіваного доходу, ніж проект A.

7. Визначення ймовірності досягнення проектами A і D позитивної безризикової ЧТВ.

Якщо X — випадкова змінна, що має нормальний розподіл, то випадкова змінна  має стандартний нормальний розподіл незалежно від значення математичного сподівання і стандарт­ного відхилення. Математичне сподівання стандартного нормального розподілу дорівнює 0,а стандартне відхилення — +1.

Для визначення значення Z використовується таблиця площі cтандартної нормальної кривої.

7.1. Незалежні грошові надходження.

Розраховуємо значення Z за формулою:

Проект A:

Це означає, що 31.33\% площі під кривою стандартного нормального розподілу лежить в інтервалі 0 £ £ 65.89. Тому ймовірність того, що проект A досягне позитивної безризикової ЧТВ, дорівнює 0.8133 (0.5000 + 0.3133).

Проект D:

Імовірність того, що проект D досягне позитивної  дорівнює 0.7574.

7.2. Цілком залежні грошові надходження.

Проект A:

Імовірність того, що проект A досягне позитивної , дорівнює 0.7092.

Проект D:

Імовірність того, що проект D досягне позитивної , дорівнює 0.6598.

Основні терміни: ризик; комерційний ризик; інвестиційний ризик ;портфельний ризик; катастрофічний ризик; види інвестиційних ризиків: економічний, політичний, соціальний, екологічний, реального інвестування, фінансового інвестування, систематичний, несистематичний; абсолютні міри ризику: ранг; математичне сподівання; дисперсія; середньоквадратичне відхилення; середнє абсолютне відхилення; напівдисперсія; відносні міри ризику: коефіцієнт варіації, метод еквівалента певності (МЕП), коефіцієнт еквівалента певності (КЕП); сподівана ЧТВ проекту з урахуванням ЕП; безризикова ставка прибутковості; метод ставки дисконту з урахуванням ризику; доповнення до нормального ризику; доповнення понад нормального ризику; сподівана ЧТВ з урахуванням ризику; стандартне відхилення сподіваних грошових потоків проекту; стандартне відхилення незалежних щорічних грошових над- ходжень проекту; стандартне відхилення абсолютно залежних щорічних грошових надходжень проекту; ймо- вірність досягнення проектом позитивної безризико- вої ЧТВ.

ЗАВДАННЯ

1. Компанія має дві пропозиції щодо інвестування за умови таких станів економіки: нормальний стан, глибока рецесія, серед­ня рецесія, слабкий бум, сильний бум.

Імовірності наставання кожного стану економіки та грошові потоки кожної пропозиції такі:

Обчисліть:

(1)сподіваний дохід від інвестування кожної пропозиції;

(2) середнє абсолютне відхилення;

(3) дисперсію;

(4) стандартне відхилення;

(5) коефіцієнт варіації.

2. Обладнання з 4-річним життєвим циклом замінюється новим, ефективнішим та з більш тривалим життєвим циклом. Це обладнання потребує початкових витрат $55000.Сподіваний дохід та стандартне відхилення є такими:

Безпечна ставка доходу від інвестицій складає 5\%. Значення коефіцієнтів еквівалента певності та коефіцієнтів варіації за 5-річний період такі:

Визначте чисту теперішню вартість безпечних грошових потоків.

3. Компанія використовує метод еквівалента певності для оцінки ризику інвестицій. Компанія має вибрати один з двох альтернативних проектів:

Коефіцієнти еквівалента певності для проектів за 3-річний період дорів­нюють:

Який проект кращий?

4. Корпорація має два інвестиційні проекти і повинна вибрати один з них на основі сподіваної вартості дисконтованих грошових потоків. Вартість капіталу корпорації становить 14\%,а безпеч­на ставка — 10\%.Ставка дисконту з ризиком проекту А — 14\%, а проекту В — 18\%.

Розподіл початкових витрат для проектів є таким:

Розподіл грошових потоків проектів:

Визначте ЧТВ кожного проекту за ставкою дисконту з ризиком.

5. Корпорація, маючи безпечну ставку доходу 6\% та ставку доходу з ризиком 15\%,впроваджує інвестиційний проект з життєвим циклом 8 років. Початкова вартість проекту $ 50000,а щорічні грошові потоки перед­бачаються в розмірі $10000. Коефіцієнти еквівалента певності плануються такими:

Визначте ЧТВ проектів зі ставкою дисконту з ризиком та за методом ЕП, порівняйте та прокоментуйте отримані результати.

6.Промислова компанія оцінює два альтернативні інвестиційні проек- ти — А і В. Загальна початкова вартість проекту А —$30 000, проекту В — $40 000. Безпечна ставка — 6\%. Розподіл грошових потоків проектів наведено в таких двох таблицях:

Корпорація розраховує мати такі значення коефіцієнтів еквівалента пев­ності для двох проектів:

(а) обчисліть сподівані грошові потоки за кожний період для обох проектів,

(б) визначте стандартне відхилення сподіваних грошових потоків для кожного періоду для обох проектів,

(в) визначте стандартне відхилення дисконтованих за безпечною ставкою дисконту грошових потоків з припущенням, що ці грошові потоки є незалежними чи цілком залежними,

(г) обчисліть та прокоментуйте коефіцієнти варіації для двох проектів з припущенням незалежності та цілковитої залежності безпечних грошових потоків.