Системний аналіз - Навчальний посібник (Шарапов О. Д., Дербенцев В. Д., Семьонов Д. Є.)

6.3. прийняття рішень за детермінованих умов

Розглянемо загальну постановку задачі прийняття рішення. Нехай ОПР має набір стратегій (варіантів рішення), які подані вектором , на елементи якого накладено ряд обмежень, що зумовлені фізичним та економічним змістом задачі:

де a, b — вектори параметрів.

Тоді ефективність управління характеризується деяким числовим критерієм оптимальності f (x, c), а завдання ОПР полягає у виборі стратегії  з множини допустимих стратегій , яка найкраще відповідає цьому критерію.

Очевидно, що загальна постановка однокритеріальної статичної детермінованої задачі прийняття рішення (ЗПР) збігається з загальною постановкою задачі математичного програмування (МП). Тому для розв’язання такого типу ЗПР може бути використаний арсенал методів, розроблений для задач МП (див., наприклад, [6, 39, 47]).

Але на практиці, як правило, необхідно приймати рішення, враховуючи кілька критеріїв, що приводить до задач векторної (багатокритеріальної) оптимізації. Позначимо векторний критерій через , де  — вектор-функція від стратегій x. Тоді оптимальне рішення має задовольняти співвідношення:

,

де opt — оператор оптимальності, X — множина допустимих альтернатив,  — оптимальна стратегія та відповідне оптимальне значення вектора ефективності.

Складність таких задач полягає в тому, що для них не очевидний сам принцип оптимальності, оскільки критерії досить часто можуть бути суперечливими та вимірюватись у різних одиницях і шкалах.

Один із найвідоміших принципів багатокритеріальної оптимізації — це принцип Парето. Парето-оптимальність не потребує виділення однієї найкращої альтернативи (тобто кращої за всіма критеріями). Множина оптимальних, за Парето, стратегій X* містить стратегії, які більш прийнятні щодо довільної альтернативи з множини X*, де . При цьому довільні дві стратегії з множини Парето непорівнянні. Непорівнянними називають стратегії , якщо стратегія  є кращою за однією групою критеріїв, а  — за іншою.

Розглянемо найпоширеніші методи розв’язання задач векторної оптимізації.

Найпростішим є метод головного часткового критерію, який полягає у тому, що серед усіх критеріїв вибирається головний, а для інших встановлюються мінімально допустимі рівні , після чого задача зводиться до задачі на умовний екстремум головного часткового критерію.

Метод лексикографічної оптимізації застосовується тоді, коли критерії можна проранжувати та впорядкувати за ступенем важливості. Тоді на першому етапі вибирають підмножину стратегій , що мають найкращі оцінки за першим критерієм. На другому кроці обирається підмножина альтернатив , що мають кращі оцінки за другим критерієм, і т. д.

У методі послідовних поступок для кожного з проранжованих критеріїв вибирається максимально допустиме відхилення його значення від найкращого. Цей метод відрізняється від попереднього тим, що на кожному кроці будують множину альтернатив з урахуванням допустимого відхилення критерію від найкращого значення («поступки»).

Метод згортки є операцією перетворення векторного критерію в скалярний. Для згортки необхідно у певний спосіб нормалізувати критерії для уможливлення їх зіставності. Для цього, наприклад, можна перейти до абстрактних величин або до величин з однаковими одиницями вимірювання. Потім векторний критерій замінюють скалярним:

.

Як функціональну залежність f(×) найчастіше застосовують такі типи згорток:

 — адитивні;

 — мультиплікативні;

 — агреговані,

де  — ваги часткових критеріїв, p — показник компенсації одних рівноцінних критеріїв великими змінами інших.

Недоліки застосування згорток полягають у необхідності визначення та обґрунтування вагових коефіцієнтів для часткових критеріїв та вибору типу згортки.