6.4. прогнозування на підставі використання невласних задач математичного програмування

6.4.1. Причини виникнення несумісних задач фінансового планування діяльності підприємства

Широке використання математичних методів стало важли­вим напрямом удосконалення фінансового планування, підви­щило ефективність аналізу діяльності підприємства, його підрозділів та видів діяльності. Це досягається за рахунок скоро­чення строків планування, більш повного охоплення впливу фак­торів на результати комерційної діяльності, заміни наближених або спрощених розрахунків точними обчисленнями, постановки і розв'язання нових багатовимірних задач планування, які прак­тично неможливо виконати вручну або традиційними методами.

Наука про управління підприємством неперервно збагачує арсенал своїх методів і засобів. Причиною появи економіко-ма-тематичних методів послужило ускладнення економіки та управ­ління господарством. Економіко-математичні методи, поєднані із сучасною обчислювальною технікою в рамках різного роду автоматизованих систем, стають надзвичайно важливим елемен­том фінансового планування та управління господарством на підприємствах, в галузях та міжгалузевих комплексах. Ці методи все активніше використовуються у практиці та реалізації планів економічного й соціального розвитку. Складовою частиною цьо­го завдання виступає створення єдиної системи оптимального фінансового планування на базі широкого застосування мате­матичних методів та ЕОМ в економіці.

Застосування математичних методів у фінансовому плану­ванні діяльності підприємства вимагає:

системного підходу до вивчення економіки підприємства, врахування всієї множини істотних взаємозв'язків між різними видами діяльності;

розробки комплексу економіко-математичних моделей, які відображають кількісну характеристику економічних процесів і задач;

удосконалення системи економічної інформації про робо­ту підприємства та ін.

На рис. 6.3 подано орієнтовну схему основних математич- них методів, які можуть бути використані у фінансовому плану- ванні.             *Г

Економіко-математичні методи

Методи елементарної математики

Класичні методи математичного аналізу

Диференціальні та інтегральні числення Варіаційні обчислення    

Методи математичної статистики

Методи вимірювання одновимірних статистичних сукупностей Методи вимірювання багатовимірних статистичних сукупностей

Економічні методи

Виробничі методи

Методи «витрати-випуск» (міжгалузевий баланс)         

Методи математичного програмування

Невласні задачі лінійного і випуклого

програмування

Блочне програмування

Нелінійне програмування (цілочислове,

квадратичне, параметричне і т. д.)

Динамічне програмування

Методи дослідження операцій

Розв'язування лінійних програм

Управління запасами

Матричні методи аналізу

Математична теорія ігор

Теорія розкладу

Сітьові методи планування та

управління

Теорія масового обслуговування

Методи економічної кібернетики

Системний аналіз Методи імітації Методи моделювання Методи навчання, ділові ігри Методи розпізнавання образів

Математична теорія

оптимальних             процесів       

Максимум Понтрягіна для управління техніко-економічними процесами Максимум Понтрягіна для управління ресурсами

Евристичні методи

Рис. 6.3. Орієнтовна схема економіко-математичних методів у фінансовому плануванні підприємства

В економічних задачах планування та управління часто ви­никають суперечності, причинами яких можуть бути: неточність інформації, невизначеність вимог, ідеалізація або перекручення деяких співвідношень. Математичні моделі суперечливих еконо­мічних задач можна уявити як невласні задачі, які в силу тих чи інших причин не мають розв'язку. Вивчення у сучасній матема­тиці задач або теоретичних моделей, що містять суперечності, пов'язане з необхідністю наукового обґрунтування процедур ко­ригування таких задач і моделей.

Практика розв'язання виробничих задач планування призве­ла до необхідності розробки теорії та методів аналізу (зокрема числового) невласних задач математичного програмування, хоча для цього були причини і чисто внутрішнього для математичного програмування характеру (несумісні системи нерівностей, мето­ди їх апроксимації з метою застосування різних розділів матема­тики). Ситуація, коли модель математичного програмування, по­ставлена відповідно до реальної економічної задачі, виявляєть­ся невласною (нерозв'язною), виникає досить часто. Звичайно, в цьому випадку, виходячи з тих чи інших евристичних міркувань, можна ряд обмежень зняти або послабити, скоригувати вихідні дані і досягти того, що задача буде розв'язуваною. Але значно важливішим і доцільнішим є підхід, який ґрунтується на застосу­ванні об'єктивних процедур для корекції такої моделі, тобто для перетворення її на розв'язувану.

Отже, можна сформулювати таке поняття невласної задачі: це задача, яка не має властивостей одночасної розв'язуваності прямої і двоїстої задач та збігу їхніх оптимальних значень. Для знаходження розв'язку невласної задачі лінійного програмуван­ня коригується як система обмежень, так і сама функція.

Напрям, пов'язаний з вивченням невласних задач матема­тичного програмування, можна вважати перспективним, а зас­тосування чисельних алгоритмів розв'язування невласних задач до аналізу реальних економічних систем - актуальним.

Основні причини появи несумісних задач фінансового пла­нування діяльності підприємства може бути виявлено тільки шляхом вивчення поведінки реальної виробничої системи і на­явної практики планування. Відзначимо такі характерні момен­ти. Систему підприємства слід розглядати як обмежену ймовір­нісну систему, поведінка якої визначена основними питаннями об'єктивних економічних законів розвитку системи господарю­вання. В основному закони реалізуються через систему фінан­сового планування. Однак у ній мають місце випадкові збурення і стохастичні зв'язки, які вносять фактор невизначеності у про­цес планування виробництва.

З іншого боку, у кожний конкретний момент часу суспільство має кількісно визначені (обмежені) виробничі ресурси, і суспільні потреби перевищують можливості їх задоволення. Тому для більш повного задоволення зростаючих потреб суспільства не­обхідно якомога повніше використати можливості виробництва. Таким чином, прагнення найбільш ефективно організувати діяльність підприємства в умовах ринку за наявності фактора невизначеності може породити несумісність задач оптимально­го фінансового планування. Ця гіпотетична можливість реалі­зується через існуючу систему планування.

Досвід роботи із суперечливими моделями, з невласними задачами приводить до різноманітних конструкцій, серед яких найпростіші пов'язані з тими або іншими видами корекції, які приводять до несуперечливих моделей.

Суперечливі теоретичні моделі, які застосовуються у фінан­совому плані підприємства, в умовах переходу до ринкової еко­номіки відображають складні соціальні й техніко-економічні си­туації.

Причини виникнення невласних моделей, які описують за­дачі фінансового планування та управління на підприємстві, такі:

ресурсний дефіцит;

напруженість плану;

відсутність резервів виробничих потужностей;

неточність і недостовірність економічної інформації;

врахування суперечливих директив і т. ін.

Природно, це перелік тільки деяких причин виникнення су­перечливих моделей, які носять більш або менш загальний ха­рактер. Практика розв'язання виробничих завдань фінансового планування показує, що виникнення невласних моделей - до­сить звична ситуація в даній системі.

Так, під час розробки планових програм розвитку підприєм­ства використовується принцип багатоступінчастості (ієрархіч­ності) проведення розрахунків. У цьому разі на більш високому рівні ієрархії у зв'язку з інформаційними та обчислювальними труднощами нижчий (локальний) об'єкт фінансового плануван­ня описується агрегованою моделлю. Описані в агрегованій (отже, неповній) економіко-математичній моделі ресурси співвідносяться з попитом на продукцію (вироби, послуги) і при існуючій економічній ситуації, коли продукція більшості підрозділів і видів діяльності підприємства дефіцитна, обирається варіант плану з максимальним, безрезервним використанням ресурсів. Встановлене таким чином планове завдання у разі більш повно­го врахування ресурсних можливостей об'єкта фінансового пла­нування може не виконуватися для задачі, яка оптимізується.

Проблеми несумісності поглиблюються ще й тим, що багато ресурсів, які в минулому не були дефіцитними і за традиціями не враховуються відповідною мірою (вода, деревина, електроенер­гія, газ тощо), у теперішній час істотно лімітують випуск продукції. Наприклад, забезпеченість трудовими ресурсами. Тут необхідно враховувати умови, які описують інтереси відтворення робочої сили. Недостатні капітальні вкладення у житлове будівництво, у забезпечення умов праці та відпочинку, недосконалість форм оплати праці, характерні для ринкової економіки, у кінцевому рахунку можуть викликати зниження ресурсних можливостей систем, які оптимізуються, і призвести до суперечливих ситуацій.

Ще однією причиною, яка призводить до суперечливої ситу­ації, є практика фінансового планування від досягнутих показ­ників, коли без відповідного аналізу можливостей об'єкта плану­вання встановлюється дещо більше планове завдання з випуску продукції (послуг), ніж у попередній період часу. Причини живу­чості такої схеми фінансового планування очевидні - надзвичай­на простота розрахунків.

Але якщо плановане зростання виробництва продукції не забезпечується необхідними ресурсними можливостями, це при­зводить до встановлення планового завдання, яке неможливо виконати. Така ситуація має очевидні негативні економічні на­слідки, особливо в нових умовах господарювання. Дійсно, у цьо­му випадку об'єкт фінансового планування буде намагатися ви­конати планове завдання за рахунок підвищення матеріалоєм-кості продукції, зниження частки трудомістких, але, як правило, дефіцитних виробів, збільшення фонду роботи обладнання шля­хом невиправданого зменшення часу на капітальні та планово-запобіжні ремонти, за рахунок неефективного використання де­яких видів матеріальних і трудових ресурсів, що в кінцевому підсумку призводить до серйозних порушень технології вироб­ництва, зниження якісних характеристик виробленої продукції, збільшення строків освоєння її нових видів. Природно, що у цьо­му випадку стимулюючу роль оцінкових показників практично зведено до нуля, бо відсутня можливість вибору оптимального варіанта з множини допустимих планових програм.

Також слід відзначити, що підвищення ефективності та інтен­сифікації виробництва викликає необхідність постійних нововве­день, швидкого впровадження нових наукових розробок, зміни структури й номенклатури продукції. У цьому разі об'єкт фінан­сового планування повинен мати деякі резерви ресурсів для підвищення мобільності підприємства, його сприйнятливості до реалізації досягнень науково-технічного прогресу. Тому, на наш погляд, доцільно під час розробки планових завдань встановлю­вати локальному об'єкту такі показники з випуску продукції, щоб у передплановому періоді мала місце деяка свобода вибору пла­нових рішень. Така процедура встановлення планових програм веде і до більш повної реалізації принципу планування та управ­ління народним господарством, за якого передбачається існу­вання свободи вибору рішень в умовах локального об'єкта.

Розглядаючи підприємство як самостійний господарський механізм, необхідно зазначити, що існуючі особливості його діяль­ності і практика фінансового планування викликають несумісність ряду задач оптимального фінансового планування. Найбільш характерні з них такі:

Складність і багаторівневість управління підприємством.

Порівняно великий обсяг вихідної техніко-економічної інформації, неможливість евристичного визначення найістотні­ших розділів цієї інформації і через це неможливість апріорної оцінки ситуації, яка складається на підприємстві в цілому.

Складність відображення в одній економіко-математичній моделі всіх істотних для діяльності підприємства факторів.

Наявність умов виробництва (як правило, технологічних особливостей), які не можна формалізувати, і суперечливий ха­рактер ряду співвідношень в економіко-математичних моделях оптимізації фінансових планів.

Жорсткість умов, накладених на фінансовий план виробництва продукції, намагання одержати план, оптимальний щодо ряду суперечливих критеріїв, збіг цілей у часі.

Відсутність комплексності фінансового планування, яка часто стає результатом різнопрофільності видів діяльності підрозділів, які входять до структури підприємства.

Причини, що викликають несумісність задач оптимального фінансового планування діяльності підприємства, можна розби­ти на дві групи: об'єктивні та суб'єктивні.

До першої групи входять причини, зумовлені самою вироб­ничою діяльністю або особливістю її фінансового планування:

а)         складний характер виробництва, яке об'єднує різні підга- лузі зі складними взаємозв'язками;

б)         наявність зон невизначеності у ході виробничої діяльності;

в)         наявність неконтрольованих зовнішніх впливів як на хід виробництва, так і на процес прийняття рішень під час фінансо- вого планування;

г)         об'єктивна неможливість повної відповідності фінансово- го плану та характеру його виконання, тому що хід виробництва - це реальний процес, а план - якась його модель.

Друга група об'єднує причини, які характеризують реальний стан справ на підприємстві у ході прийняття оптимальних рішень під час фінансового планування організаційно-економічного ме­ханізму господарювання. До цієї групи належать:

а)         відставання у часі одержання у повному обсязі необхід- ної та достовірної вихідної техніко-економічної інформації для оптимального фінансового планування;

б)         відсутність достатньо повного узгодження інтересів ок- ремих підрозділів і видів діяльності, а також всієї системи в цілому;

в)         недосконалість існуючих моделей, методів, алгоритмів оптимального фінансового планування діяльності підприємства;

г)         відставання прогнозування від планування і відсутність потрібного взаємозв'язку фінансового планування та прогнозу- вання, що не дозволяє правильно оцінювати деякі визначальні параметри підприємства;

д) наявність суб'єктивних оцінок у процесі прийняття рішень при фінансовому плануванні діяльності підприємства, коли час­то завищуються внутрішні резерви виробництва.

Для подолання труднощів, які виникають у ході оптимізації фінансових планів виробництва в умовах несумісності, прово­дився пошук нових шляхів, підходів до аналізу виробничих ситу­ацій, процесу прийняття рішень за оптимального фінансового планування. У цьому пошуку виходили з того, що необхідно за­безпечити виконання таких основних операцій:

виділення найістотніших розділів вихідної техніко-еконо-мічної інформації, які впливають на несумісність; визначення ядра несумісності, тобто тих небагатьох обмежень, наявність яких обумовлює несумісність для подальшого детального їх аналізу;

одержання кількісних оцінок ступеня несумісності у зада­чах оптимального фінансового планування;

побудова таких економіко-математичних моделей фінан­сового планування діяльності підприємства з відповідним алго­ритмічним забезпеченням, які враховували б реально існуючий факт, що для одержання частини вихідної техніко-економічної інформації (оптимальним чином визначеної) необхідно знати оптимальний фінансовий план.

6.4.2. Методи подолання несумісних обмежень у задачах перспективного та поточного фінансового планування

Для розробки виробничих програм поточного і перспектив­ного фінансового планування діяльності підприємств необхідною умовою їхнього функціонування є врахування різних факторів (умов), таких як режим роботи підприємства, вид залежності вит­рат від обсягів випуску продукції, узгодженість в роботі окремих структурних підрозділів і т. д. З метою наочності та загальності викладення процедур коригування суперечливої системи обме­жень даний підхід до подолання несумісності в задачах перспек­тивного і поточного фінансового планування подається на при­кладі найпростіших моделей задач фінансового планування ви­робничо-господарської діяльності.

6.4.2.1. Класифікація невласних задач лінійного

та випуклого програмування

Запишемо задачу лінійного програмування:

L :max{(c, x): Ax < b, x > 0, xє Z},

де bT = [b,, b2,..., bm ] є Em, cT = [c,, C2,..., cn ] є En,

(6.1)

'1

A =

aj = [aji, aj2,aJn] є En, (j = 1,..., m)

a,

Тут Z - множина цілих чисел. Нехай ~- її оптимальне зна­чення.

Форма запису (6.1) задачі і зручна через її стандартну ви­робничо-економічну інтерпретацію, відповідно до якої Ь - вектор ресурсів, с - вектор цін. Стовпці матриці А моделюють техно­логічні способи шляхом завдання витрат ресурсів, які припада­ють на одиничну інтенсивність використання відповідних спо­собів, так що вектор інтенсивності х = [х1, х2,..., хп]тзадає рівень виробництва (фінансовий план виробництва).

Двоїстою до (6.1) виступає задача лінійного програмування

L* : min {(Ь, u): ATu > c, u > 0, uє Z}

(6.2)

1 - її' оптимальне значення.

Уведемо позначення:

M = {x > 0; xє Z : Ax < Ь}, M* = {u > 0; u є Z : ATu > c}

Ці множини називаються допустимими для і і і* відпо­відно.

Основний факт, що пов'язує задачі і і і*, формулюється як теорема двоїстості: якщо задача і розв'язувана, то і* також роз­в'язувана, при цьому їхні оптимальні значення збігаються: ~ = 1 .

Якщо задача і розв'язувана, то вона називається власною задачею, якщо ж ні - невласною.

Припущення Мф0, М* ф 0 рівносильне розв'язуваності за­дачі і, а відповідно, і задачі і*.

Якщо задача і невласна, то можливі такі три випадки: м = 0, м* ф0, (6.3) Мф0, М* = 0, (6.4) М = 0, М* = 0. (6.5)

Залежно від того, чи виконується одна з умов (6.3) - (6.5), будемо говорити про невласну задачу L відповідно 1-го, 2-го та 3-го роду.

З даної класифікації невласних задач лінійного програму­вання видно, що коли L - невласна задача 1-го роду, то L* - 2-го роду (і навпаки); якщо L - невласна задача 3-го роду, то L* - та­кож невласна задача 3-го роду (і навпаки).

Розглянемо кожну з цих умов. Перша з них означає, що, як тільки за деякого прирощення АЬ є Em система нерівностей

Ax < Ь + аЬ, x > 0, x є Z (6.6)

сумісна, то задача

max{(c, x) : Ax < Ь + аЬ, x > 0, x є Z} (6.7)

розв'язувана.

Дійсно, із сумісності системи (6.6) та умови М* ф 0 виходить розв'язуваність (6.7), а відповідно, в силу теореми двоїстості і

тіп{(Ь + аЬ, u) : ATu > c, u > 0, u є Z}. (6.8)

А також, якщо при деякому АЬ задача (6.7) розв'язувана, то, розв'язувана і задача (6.8), то М* ф 0.

Умова (6.4) означає, що в задачі L оптимальне значення ~ дорівнює + °°. А умова (6.5) еквівалентна тому, що при будь-яко­му прирощенні АЬ, яке забезпечує розв'язуваність системи (6.6), оптимальне значення задачі (6.7) дорівнює + °° що є наслідком теореми двоїстості для задач лінійного програмування.

Запишемо задачу випуклого програмування у формі

C : sup{f(x) : f(x) < 0, j = 1m, x > 0, x є Z}, (6.9)

де Z - множина цілих чисел.

Введемо позначення: ~ - оптимальне значення задачі (6.9),

М* = u > 0, uє Z: supF(x, u) < +°

m

де F(x, u) = f0(x)-\ujf j(x); f *(u) = supF(x, u)

Двоїстою до C будемо вважати задачу C*: inf sup F(x, u)

u>-\%x>>0 (6.10)

або еквівалентну до неї задачу

Г m

inf It: f (x)      ujfj (x) < t, uj > 0 • j = 1,...m, x > 1, x є zl .

Остання має вигляд задачі лінійного програмування з не­скінченним числом обмежень. Задача (6.9) називається власною, якщо

-оо< f = ~  <+оо (6.11)

де ~ - оптимальне значення задачі (6.10); в іншому випадку -невласною.

Виділимо (як у лінійному випадку) три класи невласних за­дач випуклого програмування залежно від пустоти або непусто-ти допустимих множин М і М* задач C і C* відповідно:

М = 0, М* ф0;

М ф0, М* = 0;

3)         М = 0, М* = 0.

Залежно від виконуваності властивостей (6.1) - (6.3) буде­мо говорити про невласну задачу C 1-го, 2-го або 3-го роду відпо­відно.

Для невласних задач випуклого програмування не може бути дано характеристику у тій формі, яка має місце для невласних задач лінійного програмування. Проте справедливі формули

М = 0 & М * ф0^ [м (аь) ф 0 => f (аь) < +=°], (6.12) де М(АЬ) = x > 0, x є Z : fj(x) < АЬІ, j = 1,...,m, ~(АЬ) = sup{f(x): xє М(АЬ)}}.

М = 0 & [м(аь) ф 0 => ~(аь) < +~]^ М* ф0,           (6.13)

М = 0 & ~(аь) = +~^ м* ф0, (6.14) М = 0 & м* ф0^ ~(аь) = +~. (6.15)

Похідними від (6.14) і (6.15) виступають співвідношення:

М = 0 & ~(Аь) = +~ ^ М* Ф0, М = 0 & М* Ф0 ^ ~(Аь) = ■+».

6.4.2.2. Змістовна інтерпретація невласних задач лінійного програмування

У моделі лінійного програмування, поставленій відповідно до реальної виробничо-економічної задачі, несумісність систе­ми обмежень - явище досить звичне. Найчастіше коригування вектора Ь за рахунок прирощення АЬ приводить до розв'язува-ності задачі (6.7). В основу коригування вектора можуть бути по­кладені різні підходи, які приводять до різних математичних по­становок. Можна, наприклад, вимагати від коригуючого приро­щення АЬ, щоб воно було аргументом оптимізаційної задачі

тігн

т і

ЕиіАЬі : Ах < Ь + АЬ, х > 0 > 1, хє і, (6.16)

де [аЬ1,..., аЬт]г = аЬ, її/ > 0, (і = 1,..., т).

При цьому її] можна інтерпретувати як міру втрат, пов'яза­них зі зміною ресурсу АЬ на одиницю. За змістом описаного ко­ригування деякі прирощення АЬ. можуть бути від'ємними, і тоді у

т 1

функції сумарних втрат Еїї]АЬ] відповідні до них доданки її]АЬ]

і=1

будуть від'ємними.

Дещо інакшим, але змістовно очевидним виступає коригу­вання, підпорядковане оптимізаційній задачі

тІПаЬ; : Ах < Ь + аЬ, [х, аЬ] > о|.   (6.17)

Розглянута інтерпретація невласності 1-го роду для задачі /. пов'язана з ресурсним дефіцитом. Коригування такої задачі на­зивають коригуванням за дефіцитом ресурсів. Однак причиною несумісності може бути просто неточність задання вектора Ь, бо майже всі економічні показники носять наближений характер.

Аналогічно інтерпретацію невласності 2-го роду для задач /. пов'язують з неточністю інформації моделі. Причиною несуміс­ності виявляється помилка у заданні вектора с.

Інтерпретація невласних задач лінійного програмування 3-го роду цікава тим, що вона двоїсто симетрична. Для задачі /_ си­метрична корекція має вигляд: тах{(с - Де, х): Ах < Ь + ДЬ, х < 0}.            (6.18)

Піддавши аналогічному коригуванню задачу /_*, одержимо

тіп|(Ь + дЬ, и): Ати > с -Де, и > 0} (6.19) Нехай К = {[Де, ДЬ] є Еп+т: задача (6.18) розв'язувана},

М(дЬ) = {х : Ах < Ь + дЬ, х > 0}, М*(дс) = {и : Ати > с - де, и > 0}, КЬ = {дЬ : М(ДЬ) ф 0}, Кс = {де : М*(дс) ф 0}.

Очевидно, КЬ Ф 0 і Кс Ф 0. Множини К, КЬ і Кс пов'язані співвідношенням К = КЬ • Кс.

Дійсно, одночасно сумісність систем

Ах < Ь + дЬ, х > 0, (6^0)

Ати > с - де, и > 0 (6.21)

за деяких ДЬ і Де викликає розв'язуваність (6.18), а тому і (6.19). З іншого боку, якщо за деяких ДЬ і Де задача (6.18) розв'язувана, то розв'язувана і задача (6.19), а тому їхні системи обмежень (6.20) і (6.21) сумісні.

6.4.2.3. Моделі коригування невласних задач

Практика розв'язування виробничо-економічних задач фінансового планування підприємства показує, що виникнення невласних моделей системи - досить звичайна ситуація. Зви­чайно, виходячи з тих чи інших міркувань, можна ряд обмежень зняти або послабити, скоригувати вихідні дані і досягнути того, що задача буде розв'язуваною. Проте значно важливіший і до­цільніший підхід, якій ґрунтується на застосуванні об'єктивних процедур для корекції такої моделі, тобто перетворення її' на роз­в'язувану.

6.4.2.3.1. Модель прямої апроксимації

Запишемо задачу математичного програмування у вигляді

С : вир^х) : Г(х) < 0, у = 1т, х > 0}. (6.22)

Зануримо її в сімейство параметричних задач:

вирр») : Щ(х) < 0, у = 1т, х > 0}. (6.23)

Тут {уо, у1,..., ут} - система векторних параметрів, які на­лежать до кінцевовимірних просторів. Це означає, що за пев­них значень цих параметрів jy0, у°,..., у° }справедливі не­рівності:

foІУоЬ) = Ux), fyИ 1 x) = fy(x), (у = 1,..., m). Покладаючи у = [уо, у1, ... , ут] замість (6.22), можна викорис­тати запис

С(у) : sup{fo[y](x) : f[y](x) < 0, у = 1m, x > 0}. (6.24) Наведемо дві форми занурення:

sup{fo(x) - (Ас, x) : f(x) < АЬ, у = 1m, x > 0}, (6.25)

sup{fo(x) - «||x||2 : f(x) < АЬ, y = 1,..., m, x > 0}, (6.26)

де a> 0.

Параметрична відносно Ас є Rn и АЬ є Rm задача max{(c-- Ас, x) : Ax < Ь + АЬ, x > 0} являє собою результат симетричного занурення задачі (6.1).

Більш загальна форма занурення задачі (6.1) у клас пара­метричних задач реалізується таким чином:

max{(c - Ас, x) : (A + H) x < Ь + АЬ, x > 0}. (6.27)

Нехай cr - та або інша властивість задачі С (бути розв'язу­ваною, власною тощо).

Для (6.24) введемо множину Kc = {у : с(у) має властивість c}. Методи прямої апроксимації пов'язані з розв'язуванням задачі

inf{d(K) : у є К} (6.28)

за того або іншого вибору критеріальної функції d(y). Наведемо приклади.

Нехай c - властивість бути розв'язуваною для задачі

max{(c - Ас, x) : Ax < Ь + АЬ, x > 0},

де (Ас, АЬ) є R+n+m. Покладемо с((Ас, АЬ) = ||Ас||1 + ||АЬ||1. У цій ситуації

Kc = {[Ас, АЬ] > 0 : М(АЬ) Ф 0, М*(Ас) Ф 0}, де М(АЬ) = {x > 0 : Ax < Ь + АЬ}, М*(Ас) = {и > 0 : ATu < с - Ас}.

Сама задача апроксимації (6.23) зводиться до задач лінійно­го програмування:

І т І

тіп]ХЛЬ/: Ах <Ь + ЛЬ'[х'АЬ] > °[' (6.29)

тіп|^] Лс/: АТи< с-Лс, [и, Лс] > 0^ (6.30)

Розв'язком задачі відповідно до розглянутого прикладу вис­тупає вектор [л5, л~| , де л~ = (с - АТ~)+, л~ = (/х -ь)+, ~ і ~ - опти­мальні розв'язки задач (6.29) - (6.3°) відповідно.

Функція с!(лс, ЛЬ) може мати дещо загальніший вигляд:

т п с/(Лс, ЛЬ) = ^ И і ЛЬі + ^ Г; Лс;,

і=1       /=1

де Я. > 0, г. > 0 (і = 1,..., т, / = 1,..., п). Тоді аналогами задач (6.29) і (6.30) будуть

тіп{(Я,(Ах - Ь)+) : х > 0}, тіп{(г,(с - ЛТи)+) : и > 0},

де Я =            Ят], г = [г1,..., гп]. Останні належать до класу випук-

лих кусково-лінійних задач математичного програмування.

6.4.2.3.2. Симетрична корекція задач лінійного програмування

Випишемо пару двоїстих задач лінійного програмування:

і : тах(с, х), і* : тіп(Ь, и).

Ах < Ь, х > 0; АТи > с, и > 0.

Розглянемо методи їх корекції за Ь і с. З цією метою зада­чам і і і* поставимо відповідно дві задачі

і(Л) : тах{(с - Лс, х) : Ах < Ь + ЛЬ, х > 0},

і*(Л) : тіп{(Ь + ЛЬ, и) : АТи > с - Лс, и > 0}.

Тут Л = [ЛЬ, Лс] є Еп + т. Покладемо

К = {Л : задача і(Л) розв'язувана}. (6.31)

Розглянемо методи розв'язування задачі

тіп{с/(Л) : Л є К}

за різних виборів функції якості корекції сУ(Л).

а) Лінійна корекція. Припустимо,

М(АЬ) = {х : Ах < Ь + АЬ, х > 0}, М*(А) = {у : А7и > с - Ас, и > 0}, тоді К = {А = [АЬ, Ас] : М(АЬ) Ф 0, М*(Ас) Ф 0}.

Зупинимося на аналізі задачі (6.32) при С(А) = ||А||1.

Легко переконатися в тому, що множину К, задану відповід­но до (6.31), можна замінити на К+ = {А є К : А > 0}, не змінюючи оптимального значення задачі (6.32). Тим самим замість (6.32) можна розглядати задачу

тіп{сі(А) : А є К+},

яка розпадається на дві самостійні:

тіп{||АЬ||1 : Ах < Ь + АЬ, [АЬ, х] > 0},       (6.33)

тіп{||Ас||1 : А7и > с - Ас, [Ас, и] > 0}.        (6.34)

Задачі (6.33), (6.34) можна переписати так

тіп||(Ах - Ь) ^,тіп||(с - А7и)+І. (6.35)

х>^      111 и>0 II ІИ

Візьмемо тепер у ролі d(А) функцію

т п сі (А) = ^ 11] АЬ] + ^ г,Ас, і=1       і=1

яка у змістовному значенні значно цікавіша. Тут Я. > 0, г. > 0 (] = 1,..., т, і = 1,..., п).

Аналогами задач (6.35) у цьому разі будуть

тіп (я?,(Ах - Ь)+) (6.36)

х >0

тіп (г ,(с - А7 и)+) (6.37)

и >0

У питанні корекції /_ і І* задачі (6.36) і (6.37) проміжні: у ре­зультаті їх розв'язання знаходяться відхилення аь = (Ах - ь)+ і ас = (с - А7и)+,де х і и - оптимальні розв'язки задач (6.36), (6.37). Кінцевою метою виступає розв'язання задач цД)і і*(Д), Д = [дс, аь ]. У ряді випадків пошук Д і розв'язання, наприклад, задачі цд) можна об'єднати в одну задачу. А саме: нехай І -навласна задача 1-го роду, тоді Ас = 0 , і задачу і(Д) запишемо у вигляді

1ИКОГО

max{(c, x): x є M (ДЬ)}, де M(ДЬ) - множина оптимальних розв'язків задачі (6.36), що ек­вівалентна задачі max vc, x)-aR,( Ax - Ь )+)}за достатньо вели

x>0

а > 0. Ця задача являє собою випуклу кусково-лінійну програму, її можна переписати як задачу лінійного програмування:

тах |(с, х) - аг^ Rjtj: Ах - b < t, [t, х] > о|.

Якщо ж L - невласна задача 2-го роду, то Ab = 0, і задачу L *(A) запишемо у вигляді

min {(b, u): u є M *(Ac)]

де m * (Ac) - множина оптимальних розв'язків (6.37), що екві­валентно задачі

min|(b, u) + ß^jr-p-,: c - ATu < p, p, u] > о|.

i=1

6) Квадратична корекція. Покладемо

d(A) = ||a||2 = £ (Ac; )2 + £ (Aby )2.

i=1       j=1

За схемою одержання задач (6.35) приходимо до задач

min

||(c - ATu )+

:u > 0 k

(6.38)

min |||((4х - b)+| : x > 0 Побудуємо ітераційні оператори

(6.39)

<P(u)

i=1

x-і.У / + (x )3i

" j=1j

які мають властивості

Ііт <р (и0) = и

(6.40)

Ііт у(х0) = х

(6.41)

п

тут X є 0,2, 3 = ^||Л/

2

х , и - довільні початкові елементи для процесів (6.40) і (6.41),

х, и - оптимальні розв'язки задач (6.38) і (6.39).

У теперішній час на підприємствах починають певною мірою використовувати методи оптимізації розвитку та розміщення ви­робництва. На окремих підприємствах розв'язання задач опти­мізації знаходить своє застосування у рамках пошукових дослід­жень та епізодичного розв'язування окремих задач. Все більшо­го значення набуває можливість проведення багатоваріантних розрахунків на ЕОМ, що дозволяє проводити всебічний аналіз умов розвитку та розміщення виробництва на попередній стадії опрацювання фінансових планів.

Основним змістом економіко-математичних моделей задач поточного й перспективного фінансового планування в рамках підприємства виступає визначення оптимального рівня існуючих виробничих потужностей. Вони включають оптимальний розподіл ресурсів (у тому числі сировини) між різними підрозділами підприємства у встановлених межах. Однак треба визнати, що рівень досліджень у цій галузі поки що не забезпечив розробку єдиної системи задач оптимізації фінансового планування підприємства.

За допомогою економіко-математичних методів і систем моделей розв'язуються найрізноманітніші задачі перспективно­го фінансового планування. У напрямку вдосконалення такого роду моделей найбільш актуальні такі: по-перше, типізація за­дач і моделей, вироблення єдиних методичних положень про умови техніко-економічних розрахунків, створення нових ефек­тивних методів і алгоритмів розв'язування задач на ЕОМ і, по­друге, конкретизація моделей методів і алгоритмів стосовно спе­цифічних умов кожної розв'язуваної задачі розвитку і розміщен­ня виробництва.

Питання для самоконтролю

Які завдання необхідно вирішити на підприємстві у ви­падку погіршення його фінансового стану?

Які економіко-математичні моделі використовуються у фінансовому плануванні?

Наведіть причини виникнення несумісних задач фінансо­вого планування.

Які вимоги необхідно виконувати при використанні мате­матичних методів у фінансовому плануванні?

Охарактеризуйте методи подолання несумісних обмежень у задачах перспективного і поточного фінансового планування.