3.1. методичний інструментарій оцінки вартості грошей у часі

При прийнятті фінансових рішень необхідно враховувати рознесені в часі витрати і доходи. Основну роль у цих розрахун­ках відіграє оцінка вартості грошей у часі. Тим, хто приймає рішен­ня на підприємствах і в організаціях, необхідно думати про те, чи виправдане сьогоднішнє вкладання грошей очікуваними вигода­ми в майбутньому. Для цього необхідне правильне розуміння концепції вартості грошей у часі і методу дисконтування гро­шових потоків.

Концепцію вартості грошей у часі можна пояснити таким чином: гроші сьогодні коштують більше, ніж така ж сума в май­бутньому, тобто сума грошей у різні періоди часу має різну вартість. Ця обставина і визначає необхідність урахування чин­ника часу в процесі здійснення довгострокових фінансових вкла­день.

3.1.1. Процентна ставка

При вивченні питання про необхідність одержання грошей сьогодні або в майбутньому наобхідно усвідомлювати, що вартість грошей залежить від часу. Негайне одержання конк­ретної суми (наприклад, $1000) дає можливість змусити ці гроші працювати вже сьогодні і приносити відповідний доход (процен­ти). Якщо ж розглядаються фіксовані грошові потоки, то в цьому випадку процентна ставка може використовуватися для вира­ження вартості грошей у часі. Таким чином, процентна ставка дозволяє коригувати вартість грошових потоків до будь-якого конкретного моменту часу.

Процент - це грошова плата, стягнута або виплачувана за використання грошей.

Вивчаючи проблему вартості грошей у часі, необхідно виз­начити способи використання процентної ставки для приведен­ня вартості грошових потоків до єдиної точки в часі. Більшість фінансових рішень на підприємстві залежать від розподілу гро­шових потоків у часі. Згідно з концепцією вартості грошей у часі важливим чинником у діяльності підприємства є оцінка грошо­вих потоків, тобто визначення величини їх вартості. Ці питання необхідно вивчати, тому що в протилежному випадку складно зрозуміти суть фінансів.

3.1.2. Прості проценти

Методичний інструментарій оцінки вартості грошей за про­стими процентами містить систему розрахункових алгоритмів.

Прості проценти - це проценти, виплачувані лише на ви­хідну, або основну суму капіталу, взяту або віддану в борг.

Формула для обчислення простих процентів має такий виг­ляд:

5/ = р ■ і ■ п, (3.1) де в/ - сума процента в грошовому вираженні; Р0 - початкова сума позичених коштів; і - процентна ставка; п - кількість періодів часу. Приклад. Ви відкриваєте ощадний вклад на 1000 ум. гр. од., що передбачає виплату простих процентів у розмірі 8\%, маєте на меті зберігати цей внесок протягом 5 років. Наприкінці п'яти­річного періоду сума накопичених процентів становитиме:

400 ум. гр. од. = 1000 ум. гр. од. ■ 0,08 ■ 5.

Для визначення майбутньої вартості внеску необхідно до вихідної інвестованої суми додати проценти, зароблені на основ­ну суму. У цьому випадку майбутня вартість внеску (вп) розрахо­вується за формулою:

= Р + в/ = Р0 ■ (1 + Пі). (3.2)

Таким чином,

в5 = 1000 + 400 = 1400 ум. гр. од.

При нарахуванні простих відсотків обчислюється множник (1 + пі), що називається коефіцієнтом нарощення суми простих процентів.

В окремих випадках доводиться робити розрахунки в зво­ротному напрямку.

Приклад. Відома майбутня вартість внеску при і процентах на п років. Необхідно розрахувати спочатку інвестовану основну суму. Така сума називається приведеною (поточною, сучасною) сумою. Для цього наведемо рівняння (3.2) у такому вигляді:

^=їЬ ■ (3.3)

Таким чином, розглянуто механізм нарахування простих процентів. Проте у практичній діяльності при вирішенні питань, пов'язаних з оцінкою вартості грошей у часі, частіше використо­вуються складні проценти.

3.1.3. Складні проценти

Методичний інструментарій оцінки вартості грошей за склад­ними відсотками використовує більш ускладнену систему роз­рахункових алгоритмів. За допомогою обчислення складних про­центів відбувається процес переходу від приведеної (поточної) вартості до майбутньої вартості. Для ілюстрації різниці в на­рахуваннях за простими і складними процентами використаємо дані табл. (3.1).

Таблиця 3.1

Порівняльна оцінка майбутньої вартості інвестування 1 гр. од. при річній процентній ставці 8\%

З табл. 3.1 видно досить істотну розбіжність в оцінці майбут­ньої вартості грошей при використанні різних методів оцінки. Концепція складних процентів має велике значення для розумін­ня всієї фінансової математики.

Складні проценти - це проценти, нараховані на вже вип­лачені проценти, а також на основну суму, взяту (віддану) у борг.

При розрахунку майбутньої суми внеску за складними про­центами використовується така формула:

5 = Р0 (1 + і)п, (3.4)

або

5 = Р0 К"^ (3.5) де к.пм.в. - коефіцієнт майбутньої вартості при і \% для п періо­дів.

кіп = (1 + /у.

Для того, щоб краще зрозуміти нарахування складних про­центів, використовуємо дані табл. 3.2, що показує значення май­бутньої вартості на кінець кожного з 10 наступних років з момен­ту поміщення 100 гр. од. на ощадний вклад під процентну ставку 10\% річних.

Наприкінці книги подано таблиці розрахунку коефіцієнта майбутньої (кінцевої) вартості, призначені для використання з рівнянням (3.4) - додаток, табл. 1.

Таблиця 3.2

Майбутню вартість будь-якої вкладеної на десять років суми грошей при процентній ставці 10\% річних можна знайти, помноживши її на коефіцієнт майбутньої вартості (у нашому при­кладі к.п = (1 + 1,594) = 2,594). Таким чином, майбутня вартість 1000 гр. од., поміщених терміном на 10 років у банк під процентну ставку 10\% річних, становитиме: 1000 гр. од. • 2,594 = 2594 гр. од. Коефіцієнт майбутньої вартості зростає при збільшенні процен­тної ставки і тривалості періоду вкладень.

Так, у табл. 3.3 подано залежність різних процентних ставок і термінів вкладення. Більш повний перелік значень к.б.с. наве­дено у додатку (табл. 1).

3.1.3.1. Розрахунок майбутньої вартості

У практичній діяльності існують різні способи обчислення майбутньої вартості грошей. Використаємо наш приклад для ілю­

страції розрахунку майбутньої вартості 100 гр. од. при процентній ставці 10\% річних і для періоду в десять років.

Помножимо 100 гр. од. на 1,1 десять разів:

100 гр. од.-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1-1,1 = 259,40 гр. од. Цей метод рекомендується використовувати, якщо термін вне­ску не дуже великий. Або за допомогою калькулятора розв'язує­мо задачу:

100 гр. од. - 1,110 = 259,40 гр. од.

Використаємо для розрахунків таблиці розрахунку коефі­цієнта майбутньої вартості аналогічно даним табл. 3.3 (або до­даток, табл. 1).

Використовуємо швидкий спосіб розв'язання задач із складними процентами, що стосується подвоєння капіталу (пра­вило 72). Воно говорить, що кількість років, необхідна для под­воєння капіталу, приблизно дорівнює числу 72, поділеному на розмір процентної ставки.

I = 72/п.

Приклад. При річній ставці процента 10\% необхідно 7,2 року для збільшення вкладеного капіталу. При річній ставці процента 15\% необхідно 4,8 року для подвоєння вкладеного капіталу.

3.1.3.2. Приведена (дисконтована) вартість

Ми прекрасно розуміємо, що сьогоднішні кошти коштують дорожче, ніж їх цінність у майбутньому. Обчислення приведеної (поточної) вартості майбутніх коштів дозволяє вимірювати розмір майбутніх грошових потоків порівняно із сьогоднішньою шкалою. Іншими словами, за допомогою цієї процедури є мож­ливість з'ясувати, яку суму нам необхідно вкласти сьогодні для того, щоб одержати певну суму в майбутньому.

Припустимо, ми хочемо мати 12000 гр. од. через рік при про­центній ставці 25\% річних. Сума, яку необхідно вкласти зараз, є приведеною вартістю майбутніх 12000 гр. од. Оскільки процентна ставка дорівнює 25\%, це означає, що на кожну вкладену сьогодні грошову одиницю (гр. од.) ми одержимо в майбутньому 1,25 гр. од. Отже, можна записати:

Приведена вартість • 1,25 = 12000 гр. од.

Звідси приведена вартість становитиме:

Приведена вартість = 12000/1,25 = 9600 гр. од.

Таким чином, якщо процентна ставка складає 25\% у рік, необхідно вкласти 9600 гр. од. для одержання 12000 гр. од. че­рез рік.

Припустимо, що 12000 гр. од. нам буде потрібно через два роки. Для визначення приведеної вартості скористаємося таким розрахунком:

12000 гр. од. = Р0 • 1,252 = Р0 • 1,5625, тоді приведена вартість становитиме:

Р0 = 12000 гр. од. / 1,5625 = 7680 гр. од.

Таким чином, 7680 гр. од., вкладені сьогодні під 25\% річних, зростуть до 12000 гр. од. за два роки.

У задачах на приведену вартість (аналогічних цій) процен­тну ставку називають ставкою дисконтування (або ставкою ка­піталізації). Визначення приведеної вартості (або дисконтуван­ня) - дія, зворотна нарахуванню складних відсотків. При розра­хунку дійсної вартості коштів у процесі дисконтування за склад­ними відсотками використовується формула:

Р0 = 5„ / (1+/)", (3.6)

де Р0 - початкова сума коштів; 5п - майбутня вартість внеску; / - дисконтна ставка; п - кількість періодів часу.

Загальна формула для обчислення приведеної вартості 1 гр. од. через п періодів при і\% дисконтної ставки для даного періоду виглядає таким чином:

к.п.п.в. = 1/ (1+і)п. (3.7)

Цей вираз називається коефіцієнтом приведеної вартості при і\% для п періодів. Для зручності розрахунків існують таблиці коефіцієнтів приведеної вартості. У табл. 3.4 подано дані для визначення приведеної вартості 1 гр. од. для різних періодів часу. Більш повний перелік значень кіппс- подано у додатку, табл. 2.

Таблиця 3.4

Приведена вартість 1 гр. од. для різних періодів і процентних ставок

Аналізуючи дані табл. 3.4, необхідно відзначити, що приве­дена вартість з часом зменшується. При процентній ставці, на­приклад, 10\% за період приведена вартість 1 гр. од. через два роки становитиме 0,826 гр. од., а через п'ять років - лише 0,621 гр. од.

Таким чином, дисконтування майбутніх грошових потоків призводить до певного їх знецінювання.

3.1.3.3. Невідома процентна (або дисконтна) ставка

Часто доводиться розв'язувати задачі з визначенням роз­міру процентної ставки, коли відомі майбутня і приведена вартість, а також кількість періодів часу.

Приклад. Сьогодні вітчизняні інвестиції склали 1000 гр. од., через 5 років ми одержали 3000 гр. од. Необхідно визначити став­ку, що використовується в даній ситуації для нарахування склад­них відсотків (або дисконтування). Скористаємося рівнянням (3.5) для визначення майбутньої вартості:

Я5 = Р0 (А.5), 3000 = 1000 (А.5).

Тоді к. = 3000/1000 = 3.

Використовуючи дані табл. 3.3, знаходимо рядок, що відпо­відає 5-річному періоду і найближче значення к.п (3,052), що відпо­відає 25\%-ній ставці. Таким чином, процентна ставка в даному прикладі повинна бути дещо більшою 25\%.

3.1.3.4. Невідома кількість періодів нарахування складних відсотків (дисконтування)

У практичній інвестиційній діяльності часто потрібно розра­ховувати час, необхідний для інвестування сьогоднішніх коштів і одержання певної майбутньої вартості при заданій ставці нара­хування складних відсотків.

Приклад. Скільки часу знадобиться, щоб інвестиція в розмірі 2000 гр. од. зросла до 3000 гр. од. за умови нарахування склад­них відсотків з 10\%-ною ставкою?

Оскільки нам відома майбутня і приведена вартість даної інвестиції, застосуємо рівнянням (3.5):

S = Р0 (k ) , 3000 = 2000 (k10\% ).

n          0 v  i,n' '          v  10\%,n'

Тоді k10\%n = 3000/2000 = 1,5.

Скористаємося даними табл. 3.3, знайдемо стовпчик, що відпо­відає 10\% і підберемо коефіцієнт майбутньої вартості, найближчий до обчисленого значення - 1,5. Це значення 1,464, дещо менше ніж 1,5 і стосується 4-річного періоду. Порівнюючи ці показники, дійдемо висновку, що кількість періодів нарахування відсотків в ана­лізованій ситуації насправді повинна бути дещо більше 4 років.

3.1.4. Ануїтети

Звичайний ануїтет. Ануїтет (annuity) - це ряд рівних гро­шових платежів (виплат або надходжень), що здійснюються че­рез рівні проміжки часу. У випадку звичайного ануїтету (ordinary annuity) грошовий потік починається наприкінці поточного періо­ду. Прикладом звичайного ануїтету є іпотека.

1. Розрахунок майбутньої вартості ануїтету на умовах на­ступних платежів (постнумерандо) здійснюється за формулою:

Snpost - R-—i           , (3.8)

або

Snpost - R • ki,n36 , (3.9)

де Snpost - майбутня вартість ануїтету, здійснювана на умовах на­ступних платежів (постнумерандо);

Я - періодичне грошове надходження або виплата; к.па6 - коефіцієнт майбутньої вартості ануїтету при і\% для п періодів.

2. Розрахунок майбутньої вартості ануїтету на умовах попе­редніх платежів (пренумерандо) здійснюється за формулою:

SnPre = я ■і1±і^ ■ (1 + і), (3.10)

або за формулою:

їпрге = Я ■ кі,па6 ■ (1 + і). (3.11)

Приклад. Припустимо, що ви маєте намір відкладати по 1000 гр. од. щороку протягом наступних трьох років. Скільки гро­шей у вас накопичиться до кінця цього періоду, якщо процентна ставка дорівнює 10\% річних?

При розрахунку майбутньої вартості ануїтету, безсумнівно, має значення вид ануїтету - негайний (пренумерандо) або зви­чайний (постнумерандо). У випадку зі звичайним ануїтетом пер­ший внесок у 1000 гр. од. робиться наприкінці першого періоду. При терміновому (негайному) ануїтеті перший внесок у 1000 гр. од. ро­биться на початку першого періоду. На рис. 3.1 наведено часо­вий графік аналізованих ситуацій.

0          12 3

1          І

1000     1000    1000            Терміновий ануїтет

(пренумерандо) 1000    1000      1000           Звичайний ануїтет

(постнумерандо)

Рис. 3.1. Діаграма грошових потоків ануїтету

На підставі даних запропонованого прикладу визначаємо, що майбутня вартість щорічних внесків у 1000 гр. од. за нашим ощадним планом з урахуванням трирічного періоду дорівнює 3641 гр. од. (умова пренумерандо) і 3310 гр. од. - (умова постну-мерандо).

Скорочений перелік значень ка6 наведено у табл. 3.5. Більш повний перелік значень ка6 наведено додатку, у табл. 3. Скорис­таємося даними цієї таблиці для розв'язання цієї задачі.

8про8( = 1000 гр. од. (к10\%3а6) = 1000 гр. од. ■ 3,310 = 3310 гр. од.

3. Розрахунок приведеної вартості ануїтету пов'язаний зі знаходженням суми ряду значень приведеної вартості окремих надходжень і проводиться за формулою:

8

п

пр.а

і)п]/і] (3.12)

і=1

або

(3.13)

де к.папр - коефіцієнт приведеної вартості звичайного ануїтету при і\% для п періодів.

У додатку, табл. 4, подано значення капр, а в табл. 3.6 наве­дено окремі значення даного коефіцієнта.

Таблиця 3.6

Коефіцієнт приведеної вартості звичайного ануїтету, що передбачає платіж 1 гр. од. за один період при і\% для п періодів (к.папр)

З табл. 3.6 знаходимо, що к.апр дорівнює для нашого при­кладу 2,487. Тоді Б^13 = 1000 гр. од. (2,487) = 2487 гр. од.

4. Невідома процентна (або дисконтна ставка). Якщо відомі майбутня (приведена) вартість ануїтету, розмір періодичної вип­лати або одержання і застосовувана кількість періодів, то можна визначити відносну процентну (або дисконтну) ставку, перетво­ривши базове рівняння для майбутньої (приведеної) вартості ануїтету.

Приклад. Для майбутнього навчання через 4 роки вам буде потрібно щонайменше 4000 гр. од. Для накопичення цієї суми ви вирішили поміщати наприкінці кожного року 700 гр. од. на ощад­ний рахунок у банку. Яку мінімальну процентну ставку повинен забезпечувати цей банк за умови нарахування складних відсотків?

Для розв'язання цієї задачі скористаємося рівнянням 3.13:

Тоді к^р = 4000 / 700 = 5,714.

Використаємо дані табл. 3.5 і знайдемо рядок, що відпові­дає 5-річному періоду. Визначимо коефіцієнт майбутньої вартості ануїтету, найближчий до обчисленого значення - 5,714. Розмір необхідного коефіцієнта 5,751 свідчить про те, що процентна ставка в аналізованій ситуації повинна бути в межах 6-7\%. Для одержання більш точних розрахунків слід скористатися фінан­совим калькулятором.

Використання стандартних коефіцієнтів та дисконтування вартості (додаток, табл. 1-4) істотно прискорює і полегшує про­цес оцінки вартості грошей у часі.

Питання для самоконтролю

У чому полягає концепція вартості грошей у часі?

Які види процентних ставок ви знаєте? Охарактеризуйте їх.

Яким чином провадиться оцінка вартості грошей за склад­ними відсотками?

Як розраховується майбутня вартість грошей?

Дайте поняття ставки дисконтування або ставки капіталі­зації.

Дайте поняття ануїтету.