11.8. прогноз і загальні довірчі інтервали

При побудові економетричних моделей, як правило, ставиться дві основні цілі. Одна ціль заключається в оцінці параметрів структурних рівнянь, а також рівнянь зведеної форми. Друга ціль заключається в тому, щоб одержати за допомогою моделі умовний прогноз залежних змінних за певних припущень відносно майбутніх значень пояснювальних змінних.

Якщо необхідно одержати оцінку структурних коефіцієнтів, то, як було сказано вище, треба скористатись обгрунтованим оператором оцінювання. Якщо досліджувача задовольняють коефіцієнти рівнянь зведеної форми, то їх незміщенність і обгрунтованість може бути досягнута при застосуванні 1МНК до кожного рівняння, або узагальненого методу найменших квадратів, що базується на процедурі Зельнера, яка дозволяє оцінити кілька зовні не пов’язаних одне з одним рівнянь. Але ні 1МНК, ні метод Зельнера не накладають будь-яких обмежень на параметри зведеної форми, тоді як такі обмеження існують і вони містяться в системі рівнянь, що зв’язує параметри структурної і зведеної форми, тобто матриці . Клейн допускає, що коли специфікацію моделі в структурній формі вибрано правильно, то більш ефективно розрахувати спочатку коефіцієнти матриць A і B, а потім оцінити параметри матриці R, тобто він пропонує знаходити оцінку матриці R так:

.

Якщо оцінки  і  будуть обгрунтованими, то і оцінка  також буде обгрунтованою. Але проблемою залишається тоді формування і оцінка вибіркових дисперсій елементів матриці . Звідси задачу можна сформулювати так: відомі обгрунтовані оцінки елементів матриць  і  та їх асимптотичні матриці коваріацій. Необхідно знайти асимптотичну матрицю коваріацій для елементів матриці .

Така матриця може бути знайдена на основі співвідношення

                                (11.55)

де                                                            ,                                  (11.56)

— асимптотична коваріаційна матриця структурних оцінок  і .

Розглянемо прогноз ендогенних змінних при заданих значеннях екзогенних змінних. Точковий прогноз одержати досить просто, підставивши значення екзогенних змінних в приведену форму рівнянь. Тому, якщо позначити через Xt вектор прогнозних екзогенних змінних, то точковий прогноз залежних ендогенних змінних буде визначатись так:

.

Визначення довірчих інтервалів для цього прогнозу залежить від методу, за допомогою якого була отримана матриця . Як було сказано раніше, матриця  може бути отримана на основі застосування 1МНК окремо до кожного рівняння зведеної форми, або як , де структурні коефіцієнти оцінені на основі дво- або трикрокового методу найменших квадратів. Якщо специфікацію моделі в структурній формі вибрано правильно, то останній способ має перевагу. Якщо ж про точну специфікацію моделі не можна сказати нічого конкретного, то краще оцінювати рівняння зведеної форми за допомогою 1МНК. У такому разі

,                                               (11.57)

де Y — матриця елементів всіх залежних ендогенних змінних розміром n × r;

X — матриця елементів всіх екзогенних змінних, розміром n × r.

Дійсні значення прогнозних залежних змінних дорівнюватимуть

де  — вектор залишків для прогнозного періоду.

Помилка прогнозу тоді дорівнює:

.                                     (11.58)

оскільки M() = R і M() = 0, то прогноз буде незміщеним. Матриця коваріацій помилок прогнозу має вигляд

.                                     (11.59)

Підставивши значення помилки прогнозу (11.58) в праву частину (11.59), дістанемо

                                (11.60)

Припустивши, що дисперсія залишків зведеної форми є сталою величиною, коваріації одночасних залишків відрізняються від нуля, а коваріації між лаговими змінними відхилень дорівнюють нулю, можна створити матрицю

                                                (11.61)

Щоб знайти перший член в правій частині рівняння (11.60), запишемо систему рівнянь зведеної форми з дійсними значеннями коефіцієнтів:

,                                               (11.62)

де            ,                 (11.63)

тобто матриця V — матриця відхилень рівнянь зведеної форми, розміром n × r.

Підставивши в (11.57) замість Y його значення із (11.62), дістанемо:

                                                (11.64)

Використаємо значення  із (11.64) і запишемо перший доданок у правій частині виразу (11.60)

                    (11.65)

де            .               (11.66)

Елементи головної діагоналі матриці в (11.65) запишуться так:

Із (11.66) маємо

.

Тому

,

 і  — елементи матриці , звідси

,

де  — матриця залишків, і після підставляння в (11.58) дістанемо:

                                                (11.67)

У цьому співвідношенні матриця  невідома. Незміщену оцінку її можна знайти так:

                (11.68)

Таким чином, оцінка коваріаційної матриці помилок має вигляд

                                (11.69)

Стандартна помилка прогнозу:

                                (11.70)

На основі цієї помилки прогнозу Хупер і Зельнер обчислили критерій :

який при r і (n – k – r + 1) ступенях свободи підлягає F-розподілу. Так, при 5 \% рівні значущості справедлива нерівність:

,                               (11.71)

що визначає еліпсоїд розсіювання для елементів вектору Yt для рівня значущості a = 0,05.

Перепишемо праву частину виразу (11.71) у вигляді

,  (11.72)

або

                                (11.73)

Тоді

де  — елемент головної діагоналі матриці .

Тому загальні довірчі інтервали задаються так:

                                                (11.74)

Ці інтервали будуть ширшими, ніж у випадку, коли їх задавати для кожної ендогенної змінної окремо:

де .

Для додатно визначеної матриці  і тому >1. Таким чином,  і різниця між довжиною двох довірчих інтервалів буде залежати від .