11.6. алгоритм двокрокового методу найменших квадратів (2мнк)

Крок 1. Перевіряється кожне рівняння моделі на ідентифікованість. Якщо рівняння надідентифіковані, то для оцінки параметрів кожного з них можна використати оператор оцінювання:

.

Крок 2. Знаходження добутку матриць поточних ендогенних змінних, які містяться у правій частині моделі, на матрицю всіх екзогенних змінних моделі, тобто .

Крок 3. Обчислення матриці  і знаходження оберненої матриці .

Крок 4. Визначення добутку матриць всіх екзогенних змінних і ендогенних змінних у правій частині моделі, тобто .

Крок 5. Знаходження добутку матриць, які здобуто на кроках 2,3,4, тобто .

Крок 6. Визначення добутку матриць ендогенних змінних у правій частині моделі і екзогенних змінних, які внесені до даного рівняння, тобто .

Крок 7. Знаходження добутку матриць екзогенних змінних, які входять в дане рівняння, і ендогенних змінних правої частини системи рівнянь, тобто .

Крок 8. Визначення добутку матриць екзогенних змінних даного рівняння, тобто .

Крок 11. Знаходження матриці, оберненої до блочної:

.

Крок 10. Визначення добутку матриць , де — матриця всіх екзогенних змінних моделі,  — вектор залежної ендогенної змінної лівої частини рівняння.

Крок 11. Знаходження добутку матриць:

.

Крок 12. Визначення параметрів моделі:

.

Крок 13. Обчислення s-ї залежної ендогенної змінної на основі знайдених параметрів  і :

.

Крок 14. Обчислення вектора залишків в s-му рівнянні системи:

.

Крок 15. Визначення дисперсії залишків для кожного рівняння:

Крок 16. Знаходження матриці коваріацій для параметрів кожного рівняння:

.

Крок 17. Знаходження стандартної помилки параметрів і визначення довірчих інтервалів:

.

Приклад 11.5. Нехай спостереження вихідних даних задані у вигляді таких матриць:

Економетрична модель, яка може бути побудована на основі цих даних, складається з трьох рівнянь, одне з яких має вигляд:

Y1t = a12Y2t + a13Y3t + b11X1t + u1t .

Модель має ще три екзогенні змінні — X2t, X3t, X4t. Необхідно знайти оцінки параметрів цього рівняння моделі на основі двокрокового методу найменших квадратів та оцінити їх стандартні помилки, якщо дисперсія залишків дорівнює 0,6.

Розв’язання.

Крок 1. Перевіримо рівняння моделі на ідентифікованість. Для цього розглянемо нерівність

ks – 1 £ m – ms,

ks = 3 — кількість ендогенних змінних, які входять в це рівняння;

m = 4 — загальна кількість екзогенних змінних;

ms = 1 — кількість екзогенних змінних, що входить в це рівняння моделі.

3 – 1 £ 4 – 1,         2 < 3.

Таким чином, наведене рівняння моделі є надідентифікованим.

Крок 2. Запишемо оператор оцінювання параметрів 2МНК

.

У цьому операторі Y — вектор ендогенної змінної: Y = Y1t ;

Y1 — матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння: Y1 = (Y2t Y3t);

X — матриця всіх екзогенних змінних моделі:

X = (X1t X2t X3t X4t);

X1 — матриця екзогенних змінних даного рівняння, X1 = X1t.

Крок 3. Знайдемо добуток матриць згідно з оператором оцінювання 2МНК:

3.1.

Ці дані взяті з матриці  (другий та третій рядки).

3.2.

Поскільки матриця  є діагональною (це означає, що всі змінні взяті як відхилення від свого середнього значення). Звідси  також діагональна матриця.

3.3. 

3.4. 

3.5.   

Звідси блочна матриця має вигляд:

3.6. Знайдемо матрицю, обернену до матриці Q:

3.7. Обчислимо добуток матриць, що знаходяться в правій частині оператора:

Маємо вектор    

Крок 4. Визначимо оцінки параметрів рівняння

Перше рівняння економетричної моделі запишеться так:

 = 1,28Y2t + 1,04Y3t + 2X1t.

Крок 5. Визначимо асимптотичні стандартні помилки знайдених оцінок параметрів рівняння:

Стандартні помилки щодо абсолютного значення оцінки становлять відповідно 24,9 \%, 28,8 \%, 38,7 \%, а це свідчить про те, що оцінки параметрів рівняння є зміщеними і неефективними.