11.4. непрямий метод найменших квадратів (нмнк)

Повернемось до моделі (11.5), яка має два структурні рівняння. В параграфі 11.1 було показано, що між залежною змінною Yt і залишками ut існує кореляція. Застосування 1МНК для оцінки параметрів цієї моделі дає зміщення. Тому необхідно розглянути альтернативні методи оцінки параметрів, які дозволили б уникнути зміщення. Один з таких методів є непрямий метод найменших квадратів. Він складається з двох процедур. Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі (11.7)–(11.8). Основна особливість такої форми поля­гає в тому, що її здобуто в результаті розв’язування структурної системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена форма ви­ражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що кожне рів­няння в такій формі має поточне значення тільки однієї ендогенної змінної.

Припущення (11.6) дозволяють безпосередньо застосувати 1МНК для оцінювання коефіцієнтів рівнянь зведеної форми, тобто рівнянь (11.7) і (11.8). Звідси:

 — найкраща незміщена оцінка параметра ;                               (11.23)

 — найкраща незміщена оцінка параметра ;                               (11.24)

 — найкраща незміщена оцінка параметра

                першого рівняння;                                                                (11.25)

 — найкраща незміщена оцінка параметра

                другого рівняння.                                                                  (11.26)

З (11.23) знайдемо значення параметра  для першого рівняння структурної форми:

.

Оскільки , або , де малими буквами позначені відхилення від середніх, то справджується рівність:

Звідси

.                                                               (11.27)

Це значення параметра також можна було одержати на основі (11.24).

Отже, обидва рівняння приводять до ідентичної оцінки параметра . Інші два рівняння (11.25) і (11.26) дадуть нам одну й ту саму оцінку параметра .

.                                               (11.28)

Хоч оцінки (11.27) і (11.28) є незміщеними оцінками параметрів зведеної форми, вони не будуть незміщеними оцінками параметра  і  структурної форми (11.5). Але вони будуть обгрунтованими. Покажемо це. На основі рівнянь (11.7) і (11.8) і оцінки параметра , знайденої за формулою (11.27), запишемо:

.

Оскільки = 0 при , то . Щоб визначити зміщен­ня для скінченної вибіркової сукупності, обчислимо математичне сподівання

.

Нехай змінна Z набуває фіксованих значень, при яких  — константа. Згідно з припущенням відносно u для заданої вибіркової сукупності маємо M() = 0. Але недостатньо, щоб зробити оцінку  незміщеною. Нехай значення u такі, що дають змогу одержати значення  і відповідні їм імовірності, при цьому виконується умова: M() = 0.

Приклад 11.4. Задамо значення  = 0,5 і знайдемо  на основі (11.27). Тоді  = 0,4870, тобто параметр має зміщення в бік заниження. У табл.11.1 покажемо розрахунок :

                Таблиця 11.1

Виходячи із викладеного вище та наведеного прикладу, можна сказати, що непрямий метод найменших квадратів дає обгрунтовану оцінку параметрів рівнянь структурної форми моделі, але вона буде мати зміщення в бік заниження її рівня. Тому цей метод застосовується тільки за деяких спеціальних умов, а саме — точної ідентифікованості рівнянь структурної форми.

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних рівнянь, а R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.