10.3. лаги залежних і незалежних змінних

10.3.1. Лаги незалежних змінних

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними утруднює побудову економетричної моделі з лаговими змінними.

Один зі способів звільнитись від мультиколінеарності — це ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які мали б однаковий знак і для них можна було знайти суму. З врахуванням умов (10.3) — (10.6), модель з розподіленим лагом набере такого вигляду:

.                                               (10.10)

Л. Койк запропонував вибрати для зображення вагових коефіцієнтів форму спадної геометричної прогресії

,                                               (10.11)

де  .

Звідси

                                (10.12)

Якщо через D позначити оператор зрушення, такий, що Dxt = xt–1, D2xt = xt–2 і т.д., то вираз (10.11) можна записати так:

З урахуванням цього модель (10.12)  матиме вигляд:

Це припущення, що його зробив Койк, приводить до значних спрощень співвідношення (10.1). Адже замість оцінки цілого ряду параметрів моделі  достатньо дати оцінки лише двох параметрів  і  у рівнянні, де  розглядається як функція  і .

Діставши оцінку параметра  і скориставшись співвідношенням (10.11), можна обчислити всі вагові коефіцієнти. Середнє значення розподілу  дорівнює , тому для геометричного розподілу середній лаг

.

Входження до формули (10.12) лагового значення змінної  має забезпечити досить добру апроксимацію даної змінної.

При цьому слід зауважити, що не завжди лаги розподілятимуться обов’язково за законом Койка, який забезпечує найближчому значенню X найбільшу вагу, а всім наступним — постійно спадні ваги. Якщо можна припустити, що це не так, то тоді лишається кілька перших вагових коефіцієнтів вільними, а для всіх інших використовується закон розподілу Койка.

Наприклад, можна записати

                (10.13)

де перші два коефіцієнти лишаються вільними, а починаючи з  вони спадають геометрично. Використаємо оператор зрушення D для скороченого запису моделі (10.13).

Рівняння (10.13) можна подати у вигляді

 (10.14)

Якщо модель має дві пояснювальні змінні, скажімо, X і Z, то розподілені лаги Койка можуть бути використані для кожної з них. Найпростіше припустити, що для обох змінних вибирається однакове значення .

Тоді модель розподіленого лагу

.

Якщо взяти параметри  різними для різних пояснювальних змінних, то до моделі треба ввести змінні xt, Zt, yt з оператором зрушення Dxt = xt–1, D2xt = xt–2, DZt = Zt–1, D2Zt = Zt–2, Dyt = yt–1, D2yt = yt–2:

Отже, припущення, зроблене Койком, спричинюється до появи в правій частині рівняння величин  і . причому для змінної  слід узяти суму параметрів l1 і l2 , а для змінної  — їх добуток. Аналогічно діють із залишками ut–1 і ut–2.

10.3.2. Лаги залежної змінної

Зі щойно сказаного випливає: коли використовувати схему Койка для економетричної моделі, яка має лагові пояснювальні змінні, то в правій частині моделі серед таких змінних з’являється лагова залежна змінна yt–t. З її появою стають стохастичними пояснювальні змінні моделі.

До появи в правій частині моделі лагових значень залежної змінної приводять і деякі інші моделі. Добре відомими моделями такого типу є модель часткового коригування і модель адаптивних сподівань.

Коли відсутнє повне уявлення про об’єкт, його інерційність, то застосовується метод часткового коригування. Розглянемо його.

Нехай

.                                               (10.15)

У цьому рівнянні  розглядається як оптимальне значення yt, яке відповідає xt. Так, наприклад, якщо xt — дохід, то yt може визначати величину оптимальних витрат при доході xt. Нехай величина доходу xt різко змінюється (збільшується чи зменшується). При цьому споживчі витрати yt можуть не змінитись адекватно доходу з різних причин: певна інерційність, недостатня інформація, договірні умови і т.ін. Тому в даному разі використаємо коригуючу функцію:

                ,               (10.16)

яка вказує, що протягом поточного періоду часу буде пройдено лише частину відстані між вихідним станом  та оптимальним . Об’єднавши (10.15) і (10.16), дістанемо модель часткового коригування:

.                   (10.17)

Ця залежність дуже схожа на кінцеве рівняння Койка (10.12). Вона відрізняється від (10.12) лише наявністю вільного члена і простішою формою залишків.

Недоліком моделі часткового коригування є те, що оптимальне значення  не завжди визначається лише поточним значенням xt, а й попередніми значеннями цієї змінної.

Якщо значення xt змінюється від періоду до періоду, то оптимальне значення також змінюватиметься. Це явище знайшло своє відображення в моделі адаптивних сподівань, яка характеризує зв’язок змінної Y з очікуваним рівнем X. Позначимо його через . Маємо

,                                               (10.18)

де  — очікуване значення xt, яке сформоване в поточний момент часу, ut — залишки, які можуть бути пов’язані з неточним вимірюванням значення змінної .

Оскільки  — очікуване значення, то слід доповнити модель (10.18) деякими припущеннями відносно формування очікуваного значення .

Загальноприйнятими в такому разі є припущення про адаптивні сподівання, які можна записати так:

.                               (10.19)

Це означає, що змінні, які спостерігатимуться протягом поточного періоду порівняно з очікуваними раніше, ураховуються лише частково, що й відображує у формулі (10.19) додатне число , яке не перевищує одиниці. Щоб перейти до змінних , які фактично спостерігаються, запишемо:

,

де

 .

Використовуючи оператор зрушення D, можна записати:

Підставимо це значення  в (10.19):

помноживши обидві частини на  дістанемо:

або

Остаточно це рівняння матиме вигляд

Останнє рівняння є простою моделлю адаптивних сподівань. Порівнявши його з (10.17), побачимо, що воно має такі самі змінні, як і модель часткового коригування, відрізняється лише формуванням залишків. Модель адаптивних сподівань відрізняється від схеми Койка лише наявністю вільного члена.

Остаточні рівняння всіх трьох моделей практично збігаються, бо як у моделі адаптивних сподівань, так і в моделі часткового коригування використовуються вагові коефіцієнти, що спадають за геометричною прогресією.