9.2. метод інструментальних зміннихЯкщо одна чи більше зі змінних Х гранично корелює із залишками, тобто , то це означає, що оцінки 1МНК необгрунтовані. Зауважимо, що навіть коли один елемент вектора , ми можемо дістати всі елементи векторa â необгрунтованими. Кореляція між пояснювальними змінними і залишками є досить серйозною перепоною для застосування 1МНК. Така кореляція може виникнути з різних причин, але основними є три: 1) помилки вимірювання пояснювальних змінних; 2) побудова економетричної моделі за системою одночасових рівнянь; 3) наявність в економетричній моделі лагових змінних. До лагових пояснювальних змінних відноситимемо такі змінні, які впливають на залежну змінну через певний проміжок часу. Наприклад, якщо залежна змінна в період t залежить від рівня тієї самої змінної в період , то ця змінна входить до переліку пояснювальних змінних моделі, які в такому разі стають стохастичними. Вони включають лагову залежну змінну, яка є стохастичною і має зв’язок із залишками. При існуванні кореляції між пояснювальними змінними і залишками можна застосувати поширений альтернативний метод оцінювання, який називається методом інструментальних змінних. Розглянемо модель , (9.6) для якої . Припустимо, що існує матриця Z порядку n × m, яка має такі властивості: 1) ; (9.7) 2) , (9.8) де матриця — невироджена і, крім того, існує границя (9.9) Отже, припускається, що змінні Z гранично некорельовані із залишками u, а їх перехресні моменти зі змінними X не всі дорівнюють нулю і створюють невироджену матрицю. Якщо деякі зі змінних X не корелюють із залишками u, то їх можна використовувати для формування стовпців матриці Z і знаходити додаткові інструментальні змінні лише для тих стовпців, що залишилися. Оператор оцінювання вектора a з допомогою інструментальних змінних можна записати так: (9.10) Щоб дістати його, помножимо ліворуч модель (9.6) на : (9.11) Оскільки , то Звідси дістаємо оператор оцінювання (9.10), який забезпечує визначення обгрунтованої оцінки, у чому можна переконатися, підставивши (9.6) у (9.10). маємо: ; Асимптотична матриця коваріацій (9.12) На практиці (9.12) обчислюють так: (9.13) де . Реальна трудність застосування цього методу полягає в знаходженні змінних, які можна використовувати як інструментальні. Істиний розподіл їх встановити практично неможливо, а тому важко переконатися, що вибрані інструментальні змінні справді не корелюють із залишками. Водночас ці змінні повинні мати досить високу кореляцію зі змінними X, бо в противному разі вибіркові дисперсії для оцінок, здобутих за допомогою інструментальних змінних, будуть дуже великими. Коротко вимоги до інструментальних змінних Z можна сформулювати так: 1) Z тісно пов’язані з X; 2) Z зовсім не пов’язані із залишками u. |
| Оглавление| |