3.5. блочні матриці. дії з блочними матрицями

3.5.1. Визначення блочних матриць

В цілому ряді випадків доцільно великі матриці розбивати вертикальними і горизонтальними прямими на кілька частин. Наприклад, нехай матриця А має порядок 5×6:

Розіб’ємо її на чотири підматриці:

Тоді матрицю А запишемо:

                                (3.22)

Таким чином, маємо два різні записи однієї і тієї ж матриці А. В (3.22) матриця А складається з блоків елементів, або підматриць, тому таку матрицю часто називають блочною. Розбиття матриці роблять так, щоб підматриці, які стоять поруч (–;–), мали б рівну кількість рядків (відповідно r; m – r), а підматриці, які розміщені одна під одною (–;–), — рівну кількість стовпців, а саме: s; n – s  (3.21).

Неприпустимі такі розбиття матриць, схеми яких показані на рис. 3.2 і 3.3.

3.5.2.  Дії з блочними матрицями

а) Додавання матриць.

Нехай маємо блочні матриці А i B одного і того ж порядку та однаково розбиті:

Матриця  є також блочною матрицею того ж порядку, що й матриці А i B:

                                 (3.23)

Таким чином, при додаванні (відніманні) блочних матриць насамперед має виконуватись умова, що відповідні матриці-доданки мають однаковий порядок.

Зауважимо, якщо матриці розбиті таким чином, що можна виконати дію подібно тому, як це зроблено при додаванні матриць А i B в (3.23), то таке розбиття має назву «відповідне».

б) Множення матриць.

Нехай А — матриця порядку m × k; a B — матриця порядку k × n. У такому разі існує добуток С = АВ (див. рис.3.1). Нехай матрицю А розбито на дві підматриці:

Другу матрицю В розбито на дві підматриці , :

Добуток двох матриць є матриця ,

де   має порядок m × s;  – s × n;

 –  m × (k – s);  – (k – s) × n.

Нехай матриці А i B розбито відповідно на чотири підматриці:

Тоді відповідні підматриці мають розміри:

  –  r × s;                  –  (m – r) × s;

  –  r × (k – s);        –  (m – r) × (k – s);

  –  s × p;                 –  (k – s) × p;

  –  s × (n – p);       –  (k – s) × (n – p).

Добуток С = АВ складається з чотирьох підматриць  C11, C12, C21, C22:

Розміри підматриць  відповідно дорівнюють:

            –  r × p;           – r× (n – p);

            – (m – r) ×p;   – (m – r) × (n – p).

Отже, при множенні блочних матриць має існувати відповідність між кількістю стовпців першої матриці А і кількістю рядків другої матриці В,   тобто вони мають бути рівними.

Далі з блочними матрицями виконують операцію множення за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

Приклад 3.3. Знайти добуток С = АВ двох блочних матриць А i B:

Обчислюємо добуток С = АВ:

;

Запишемо блочну матрицю-добуток С = АВ:

Отже, блочна матриця С = АВ має стільки рядків, скільки їх має блочна матриця А (m = 3), і стільки стовпців, скільки їх має блочна матриця В (n = 4).

Існує поняття прямого, або кронеккерового, добутку двох матриць. Якщо матриця А має порядок m × n, а матриця В — розмір p × q, то їх прямий добуток позначається    і обчислюється так:

Порядок матриці  є mp × nq.

Приклад 3.4. Знайти прямий добуток  , якщо:

А має порядок 2 × 3;  В — порядок 2 × 2;  — порядок 4 × 6.

Якщо матриці А та B квадратні й невироджені, а також мають один і той самий розмір, то справджується властивість:  (на відміну від  .

Для блочної матриці

існує таке правило транспонування:

;

множення блочної матриці на число виконується так: