Економетрія - Навчальний посібник (Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П.)

3.4. обернена матриця. обернення (інвертування) матриць

Поняття оберненої матриці є одним з центральних у матричних перетвореннях. Дамо означення оберненої матриці та розглянемо її знаходження.

Означення 3.22. Для кожної невиродженої матриці А порядку n × n існує однозначно визначена обернена матриця  того самого порядку, така що виконується рівність

                                (3.18)

 — одинична матриця порядку n.

Отже, умова невиродженості (несингулярності) матриці А є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці . Процес знаходження  називають інвертуванням матриці А

А   інвертування   

Таким чином, інвертуватись можуть тільки квадратні матриці, визначник яких відмінний від нуля.

Теорема 3.1. Якщо визначник (det А) не дорівнює нулю, то матриця А має обернену:

                                (3.19)

де  — визначник матриці А; J — так звана приєднана до А матриця. Вона складається з алгебраїчних доповнень    до елементів  матриці А, а саме:

Отже,

                                (3.20)

Наведемо основні властивості оберненої матриці:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Дамо означення ще одного типу матриць. якщо  матрицю називають ортогональною.

Приклад 3.2. Знайти матрицю   обернену до матриці А:

                                 (див. підрозд. 3.3).

Визначимо приєднану матрицю J:

Отже,

Тоді

Перевіримо, чи справді матриця  є оберненою до матриці А. Знайдемо  або ; у результаті має бути одинична матрицю Е. Отже, перевіряється рівність  = = E: