3.1. означення матриці. основні види матриць

Розглянемо множину m × n дійсних чисел, записаних у вигляді прямокутної таблиці з m рядків і  n  стовпців:

                .               (3.1)

Означення 3.1. Матрицею називається таблиця упорядкованих чисел, яка складається з m рядків і n стовпців.

Позначаються матриці літерами A, B, C тощо.

Числа  називаються її елементами. Індекси i та j елемента  позначають відповідно номер рядка та стовпця, на перетині яких міститься даний елемент. Наприклад, елемент a23 міститься в другому рядку і третьому стовпці.

Розглянемо матрицю

                ,               (3.2)

яка має два рядки (m = 2) і три стовпці (n = 3), тобто розміром 2 ´ 3. Загалом, якщо матриця m рядків має  рядків і n стовпців, розмір такої матриці дорівнює (m × n).

Означення 3.2. Якщо в матриці А кількість рядків m дорівнює кількості стовпців n (m = n) ,її називають квадратною порядку m (або n). Якщо m ¹ n, то матриця А є прямокутною розміром (m × n).

Матриця А в (3.2) є прямокутною розміру 2 × 3.

Розглянемо основні види матриць.

Означення 3.3. Матриця-стовпець є прямокутна матриця порядку m × 1:

                .               (3.3)

Означення 3.4. Матриця-рядок є прямокутна матриця порядку 1×n:

                .               (3.4)

Матриці (3.3) і (3.4) можна розглядати як вектори.

Означення 3.5. Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою:

.

Розглянемо квадратну матрицю порядку n × n.

                .               (3.5)

Елементи    утворюють головну діагональ матриці А; елементи   — побічну діагональ матриці А.

Означення 3.6. Квадратна матриця, в якої всі елементи, крім еле­ментів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною, тобто

                .               (3.6)

Скорочено: квадратна матриця   є діагональною, якщо  для   та    для  .

Означення 3.7. Квадратна матриця  En  є одиничною n-го порядку, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи — нулю, тобто

                                (3.7)

Скорочено: квадратна матриця    є одиничною, якщо  для  та    для  .

Означення 3.8. Квадратна матриця   є трикутною, якщо всі її елементи над головною діагоналлю ( ,коли i < j) або під цією діагоналлю ( , коли i > j) дорівнюють нулю:

     або    .

Означення 3.9. Якщо в матриці А (3.1) поміняємо місцями відповідно елементи рядків на елементи стовпців (або навпаки), дістанемо транспоновану матрицю (позначається A¢ або ):

                                (3.9)

Транспонуючи вектор-стовпець, дістанемо вектор-рядок і навпаки, а саме:

i

Означення 3.10. Матриця А називається симетричною, якщо A = A¢, тобто матриця А дорівнює її транспонованій матриці A¢.

Очевидно, що симетрична матриця має бути квадратною і aij = aji.

Приклад 3.1.

тобто  A = A¢.

Неважко показати, що   — симетричні матриці.

Зауважимо, що справджується тотожність

.