2.5. оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібностіДля того щоб оцінити вірогідність економетричної моделі, потрібно насамперед мати дисперсію залишків . Оцінюючи параметри моделі методом 1МНК, ми висунули гіпотезу про те, що дисперсія залишків є незмінною для всіх спостережень. Знайдемо її значення. Фактичні значення залежної змінної згідно з моделлю (2.17) можна подати так: Yi = a0 + a1Xi + ui . (2.23) Запишемо цю модель для середніх значень, знайдених на підставі спостережень: (2.24) Віднімемо співвідношення (2.24) від (2.23): Замінивши , , дістанемо: Оскільки для розрахункових значень залежної змінної, то залишки можна подати так: Величина залишків в даному разі визначає відхилення розрахункового значення залежної змінної від фактичного за умови, що всі змінні моделі ( і ) взяті як відхилення від свого середнього значення. Сума квадратів залишків визначатиметься у вигляді Знайдемо математичне сподівання для кожної складової правої частини суми квадратів залишків: 1) ; 2) ; 3) Остаточно маємо: Звідси де — незміщена оцінка істинного значення . Досі ми не робили інших припущень про розподіл залишків ui, крім того, що середнє значення його дорівнює нулю, дисперсія є сталою і коваріації також дорівнюють нулю: Yi = a0 + a1Xi + ui , (2.25) M(ui) = 0; У (2.25) параметри a0, a1 і були невідомими, і згідно з методом 1МНК спочатку знайдено оцінки параметрів і , а далі на підставі залишків ui обчислено їх дисперсію . Якщо задати певну функцію закону розподілу залишків, то, скориставшись методом максимальної правдоподібності, можна одночасно знайти оцінку всіх трьох параметрів a0, a1 і . Нехай залишки розподілені за нормальним законом. тоді функція правдоподібності подається у вигляді Оскільки співвідношення Yi = a0 + a1Xi + ui задає лінійне перетворення залишків ui в Yi , де , то функція правдоподібності буде така: і Дана функція містить невідомі параметри , , . Тильда “~” над оцінками цих параметрів відрізняє їх від оцінок , , і , знайдених методом 1МНК, а також від істинних значень параметрів a0, a1 і . Продиференціюємо цю функцію за невідомими параметрами , , , тобто знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля: Після елементарних перетворень система рівнянь запишеться так: (2.26) Порівнюючи систему (2.26) із системою (2.19), здобутою за методом 1МНК, бачимо, що перші два рівняння (2.26) такі самі, як рівняння системи (2.19), а третє рівняння системи (2.26) дає формулу оцінки дисперсії залишків. У даному разі неважко переконатись, що оцінки параметрів і за методом максимальної правдоподібності повністю збігаються з оцінками 1МНК. Отже, якщо параметри моделі і є лінійними функціями від залишків ui, які задовольняють багатовимірний нормальний розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної правдоподібності збігаються. Тому оцінки і також є нормально розподіленими, і математичним сподіванням їх є параметри a0 і a1. З третього рівняння системи (2.26) маємо: . Параметр, який характеризує співвідношення між невідомою оцінкою дисперсії згідно з методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії, запишеться у вигляді: . Він має розподіл з n – 2 ступенями свободи і розподілений незалежно від і . Пізніше ми звернемося до параметра , коли йтиметься про існування довірчих інтервалів для параметрів моделі. |
| Оглавление| |