3.6. выборочная дисперсия и ее свойства

Одной из рассмотренных характеристик была дисперсия. Как известно, дисперсия случайной величины Х явля­ется мерой рассеивания ее возможных значений вокруг матема­тического ожидания. Так как среднее арифметическое является выборочным аналогом математического ожидания, то имеет смысл ввести подобную характеристику и для вариационных рядов, которая оценивала бы величину рассеивания наблюдае­мых данных  вокруг их среднего арифметическо­го.

Определение. Выборочной дисперсией значений случайной величины Х называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического (обозначение ĎХ или ˜σх²):

ĎХ=Σ(хi -˜Х)²/n, где i=1,…,n.

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда,  причем х1, х2, х3,…, хν – наблюдаемые варианты, а m1 , m2, , m3,…, , mν – соответствующие им частоты, то выборочная дисперсия определяется формулой:

ĎХ=Σ((хi -˜Х)² mi)/n, где i=1,…,n.

Где n=Σ mi – объем выборки.

Вычисленная по данной формуле дисперсия называется взвешенной выборочной дисперсией.

Выборочная дисперсия обладает одним существенным достатком: если среднее арифметическое выражается в тех единицах, что и значения случайной величины, то, как следует из формул, задающих дисперсию, последняя выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, взяв в качестве меры рассеивания арифметический квадратный корень из дисперсии.

Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии (обозначение ˜σх).

Среднее квадратическое отклонение можно выразить следующей формулой:

˜σх=√ ĎХ

Рассмотрим основные свойства выборочной дисперсии, считая при этом, что наблюдаемые .данные представлены в виде дискретного вариационного ряда.

1°. Дисперсия постоянной величины равна нулю

2°. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся

3°. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число, то имеет место равенство Ď(СХ)=С²ĎХ

4°. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся.

5°. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной и квадратом ее среднего арифметического, т. е.

ĎХ=˜Х²-(˜Х)²

Определение. Размахом вариации называется число R=хmax – xmin.

Определение. Модой Мо*  вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Определение. Медианой Ме*  вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ряда.

Если  n=2k(т.е.  ряд имеет четное число членов), то Ме*=(хk+xk+1)/2; если  n=2k+1,  то Ме* = xk+1