2.10 ряд распределения случайной величины

Появление тех или иных значений случайной величины можно рассматривать как события, а различным событиям в общем случае, как известно из рассмотренного выше, соответствуют различные вероятности. Поэтому возможные значения случайной величины отличаются между собой с веро­ятностной точки зрения.

Так, например, при бросании двух игральных кубиков такие значения случайной величины Z=Х+У, как z=2 и z=8, находятся в «неодинаковых условиях». Значение z=2 может появиться только в одном случае, когда появятся значения х1 = 1 и y1 = 1, а значение z=8 может появиться в пяти случаях. Отсюда следует, что вероятность появления z =2 меньше, чем вероятность появления z=8.

Таким образом, перечисление всех возможных значений случайной величины не дает достаточно полного представления о ней. Кроме того, необходимо знать, как часто могут появляться те или иные ее значения в результате испытаний, проводящихся в одинаковых условиях, т. е. следует знать вероятности их появления.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с воз­можными значениями х1, х2, х3,.... хn. В результате опыта случайная величина примет одно и только одно из этих значений. Другими словами, произойдет одно из несовместных событий,  образующих полную  группу:  X= х1,  Х= х2, Х= х3 ; Х= хn. Обозначим вероятность этих событий буквами p с соответствующими индексами: P(X= х1)=p1; P(X= х2)=p2; P(X= х3)=p3; …; P(X= хn)=pn;     Так как указанные события  образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна 1, т.е.     Σ P(X= хi)=Σ pi=1 , i= 1,…,n.

Если же множество значений случайной величины образует бесконечное, но счетное множество, то данный ряд, сходится  и его сумма равна 1.

Таким образом, суммарная вероятность, равная 1, распределена между всеми значениями случайной величины.

Определив все возможные значения случайной величины Х и правило, по которому каждому событию Х=хi, i=1, 2, 3,…,n, ставится в соответствие вероятность, т. е. правило распределения вероятностей между значениями случайной величины, можно получить полное представление о случайной величине.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения.

Закон распределения случайной величины можно задать так же, как в математическом анализе функцию одного аргумента, используя табличный, графический или аналитический способ задания. Рассмотрим первый из них.

При табличном способе задания закона распредели первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а вторая - соответствующие вероятности .

Эта таблица называется рядом распределения.

Задача . В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу взяты четыре детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Пусть Х—число стандартных деталей среди четырех отобранных. Оно может принять следующие четыре значения: х1 =1, х2=2, х3=3, х4=4. Для определения вероятности появления конкретного числа стандартных деталей воспользуемся формулой:  Р(X=k)=Сkm Сl-kn-m/ Сln

где n - число деталей в партии, l - число отобранных деталей, m - число стандартных деталей, k - число стандартных деталей среди отобранных. Далее имеем

Р(X=1)=С15 С33/ С48=1/14

Р(X=2)=С25 С23/ С48=6/14

Р(X=3)=С35 С13/ С48=6/14

Р(X=4)=С45 С03/ С48=1/14

Проверим вычисления. Складывая полученные вероятности, получаем 1/14+6/14+6/14+1/14=1. Искомый ряд распределе­ния имеет вид

Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат—вероятности этих значений. Соединив точки (хi ; уi) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая называется многоугольником рас­пределения вероятностей.

Воспользовавшись результатами задачи, построим мно­гоугольник распределения. Многоугольник распреде­ления, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одним из способов (графичес­ким) задания закона распределения.

Заметим, что сумма ординат многоугольника равна еди­нице. Это свойство многоугольника распределения является определяющим. Если в прямоугольной системе координат дана некоторая ломаная, удовлетворяющая определению фун­кции и обладающая указанным выше свойством, то такая ломаная, очевидно, задает закон распределения некоторой случайной величины.