2.9 случайные величины

Понятие случайной величины

В практической жизни часто приходится сталкиваться с различными величинами. Так, например, при покупке авиабилета нас интересуют величина его стоимости и продолжительность полета. Для выпечки торта необходимо знать его рецепт, т. количество муки, сахара, масла и т.д., необходимое на приготовление теста. Значения многих из встречающихся величин могут быть заранее известны. К таким величинам относятся: продолжительность земных суток в часах; процентное содержание компонентов выбранного торта; количество членов семьи. Значение других величин можно непосредственно найти из опыта или с помощью вычислений, получив предварительные данные с помощью измерений или пересчета, т. е. также из опыта.

В результате повторения некоторых опытов можно всегда получать одно и то же значение определенной величины, а в результате других значение величины изменяется, причем результат каждого отдельного опыта невозможно предугадать заранее.

Например, позвонив в справочное бюро (что является опытом), можно узнать стоимость авиабилета на выбранный рейс. В этом случае сообщенная конкретная стоимость билета является значением интересующей нас величины. Это значение (стоимость билета) неизменно, сколько бы раз мы ни звони в справочное бюро. Если узнавать количество билетов, имеющихся на данный момент в кассе на конкретный рейс, каждый раз в общем случае будут получены различные ответы,  причем неизвестно заранее - какие. В данном опыте (звонок в справочное бюро) значение величины (количество билетов)  меняется случайным образом от опыта к опыту. Величины, которые могут принять в результате опыта любое из возможных значений, неизвестно заранее—какое, заслуживают особо внимания и являются предметом дальнейшего изучения.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

При многократном проведении опыта (испытания) в неиз­менных условиях в общем случае будут получены различные значения случайной величины. Это обусловлено случайными обстоятельствами, которые практически невозможно предус­мотреть.

Например, при разовом бросании игрального кубика может появиться одно из чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Какое конкретное число появится, предугадать невозможно, так как появление любого из указанных чисел зависит от многих причин, которые нельзя учесть. Если при первом бросании может появиться 3, то при втором бросании возможно появление 1 или 5, а может вновь появиться 3. Таким образом, при повторении опыта число выпавших очков меняется случайным образом.

Итак, количество выпавших очков при бросании играль­ного кубика — величина переменная, характер ее изменения зависит от многих случайных причин. Такая величина является случайной.

Приведем примеры случайных величин.

Пример 1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты. •

Пример 2. Число бракованных изделий в случайно отобранной партии из 20 изделий. •

Пример 3. Дальность полета артиллерийского снаряда. •

Пример 4.  Наружный диаметр трубы. •   

Пример 5. Число мальчиков, родившихся в течение суток в опре­деленной стране. •

В примерах 1, 2 и 5 случайная величина может принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, в примере 1 такими значениями являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, в примере 2—0, 1, 2, 3, ..., 20, в примере 5—0, 1, 2, 3, 4, 5. Подобные случайные величины называются дискретными (прерывными). Заметим, что значения трех указанных выше случайных величин отделены друг от друга промежутками, в которых нет других возможных значений соответствующих величин.

В примерах 3 и 4 возможные значения случайной величины не отделены друг от друга и заполняют некоторый интервал. В этом случае одно значение случайной величины нельзя отделить от другого промежутком, не содержащим возможного значения этой же случайной величины.

Предположим (см. пример. 3), что расчетная дальность полета снаряда - 7000 м.  Пусть при первом выстреле снаряд пролетел 7020, а при втором - 7040 м.  При последующих выстрелах снаряд может пролететь и 7030,  и 6995 м.  Другими словами, снаряд может попасть в любую точку некоторого промежутка и невозможно указать какие-либо два возможных значения дальности полета снаряда, между которыми не найдется хотя бы одного возможного значения рассматриваемой случайной величины. Такие случайные величины называются непрерывными.

Определение. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

     Примерами дискретной случайной величины являются число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году.     

 Определение. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Примерами непрерывной случайной  величины служат: время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших в сутки.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита—X, У, Z, а их возможные  значения—соответствующими малыми буквами—х, у, z. Например, Х—число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина Х может принять следующие значения: х1=0 ; х2=1; х3=2; х4=3.

Введем теперь операции над случайными величинами. Пусть имеются две случайные величины Х и У, возможными значениями которых являются соответственно х1; х2; х3;… хn  и у1; у2; у3;… уn.

Определение.  Суммой Х+ У случайных величин Х и У называется случайная величина Z, возможные значения которой есть х1 + у1 ; х1 + у2 ; х1 + у3 ;…; х1 + уj ;…; х2 + у1 ; х2 + у2 ; х2 + у3 ;…; х2 + уj ;…; хi + у1 ; хi + у2 ; хi + у3 ;…; хi + уj ;…; хn + уn .

Это определение следует понимать так: в результате опыта, в котором случайная величина Х может принять то или иное значение, было получено число хi  (конкретное значение величины X), а в результате опыта, в котором у случайная величина У может принять то или иное значение было получено число уi (конкретное значение величины  У), после чего полученные числа складываются. Число хi +уi и является одним из возможных значений случайной величины Z=Х+У.

Определение.  Произведением XY случайных величин Х и У называется случайная величина Z, возможные значения которой есть х1у1 ; х1у2 ; х1у3 ;…; х1уj ;…; х2у1 ; х2у2 ; х2у3 ;…; х2уj ;…; хi у1 ; хiу2 ; хi у3 ;…; хi уj ;…; хn уn .

Определение.  Произведением СХ случайной величины Х на постоянную С называется такая случайная величина Z возможные значения которой есть С х1, С х2, С х3, ..., С хn.

Аналогично определяются разность X - У и частное Х/У двух случайных величин.

Понятие суммы и произведения случайных величин можно по аналогии распространить на любое конечное число случай­ных величин.