Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся - Учебное пособие (Мельникова Ю.Б.)

2.5 условная вероятность. теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий будем искать в виде произведения вероятностей, что вполне естественно, так как вероятность суммы событий выражается через сумму их вероятностей, а если эти события несовместны, то она равна сумме их вероятностей.

Пусть бросается игральный кубик. В результате этого испытания может наступить событие А, состоящее в выпадении четного числа очков, и может наступить событие В, состоящее в выпадении числа очков, меньшего 6. Эти события совместны, поэтому имеет смысл говорить о вероятности Р(АВ) их совместного появления.

Найдем вероятности событий А, В и АВ. Событию А благоприятствуют три исхода—А2, А4, А6, событию В благо­приятствуют пять исходов—А1, А2, Аз, А4, А5, а событию АВ благоприятствуют два исхода—А2, А4. Поэтому Р(А)=3/6, Р(В)=5/6, Р(АВ)=2/6. Представим те­перь вероятность Р(АВ) в виде произведения, например вероятности Р(А) и неизвестной вероятности х, т. е. Р(АВ)=Р(А)х. В данном случае нет оснований считать, что х=Р(В), так как Р(А)* Р(В)=5/12≠Р(АВ). Найдем число х   и   выясним   его   вероятностный   смысл.   Имеем х=Р(АВ)/Р(А)=(1/3)/(1/2)=2/3. Нетрудно заметить, что чис­ло 3 в знаменателе полученной дроби совпадает с числом исходов, благоприятствующих событию А, а два из них (это число стоит в числителе дроби) благоприятствуют событию В. Поэтому число х=2/3 соответствует вероятности события В, вычисленной с учетом только тех исходов испытания, которые благоприятствуют наступлению события А. Найден­ную при таких условиях вероятность события В назовем условной и обозначим РА(В). Таким образом, в данном случае РА(В )=2/3, откуда Р(АВ)=Р(А)* РА(В).

С другой стороны, событию В благоприятствуют пять исходов— А1, А2, Аз, А4, А5. Из них событию А благопри­ятствуют два исхода —  А2, А4,. Тогда РА(В)=2/5 и, следова­тельно, выполняется равенство Р(АВ)=Р(В)Рв(А).

Прежде чем обобщить полученные результаты в виде теоремы, дадим определение условной вероятности. В приведен­ном примере события А и В могут наступить в результате одного испытания, поэтому условная вероятность РА(В)  в таких случаях показывает, как часто появляется событие В среди тех исходов, в которых появляется событие А. В других случаях события А, и В могут наступать в разных испытаниях, условия которых не обязательно должны совпадать. Здесь вероятность одного события также может зависеть от наступ­ления другого.

  Определение. Условной вероятностью РА(В)  называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Условную вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, часто обозначают так Р(В/А).

Пример. В ящике 7 одинаковых на ощупь шаров с номерами от 1 до 7. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно. Рассмотрим события: А—«первый вынутый шар имеет номер З»; «второй вынутый шар имеет нечетный номер». Найдем условную вероятностъ РА(В).  Если первый раз вынут шар под номером 3, то в ящике осталось б шаров, из которых 3 имеют нечетные номера (1, 5, 7). Следовательно, РА(В )=3/6=1/2. •

Если же вынутый шар в предыдущем примере возвращается назад в ящик, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда Р(В)= РА(В =4/7, т. е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.

Рассмотрим теперь оба испытания как одно сложное. Запишем все исходы, благоприятствующие наступлению события А, в виде строки, составленной из двузначных чисел, где 1-я цифра означает номер шара, вынутого первым, 2-я — номер шара, вынутого вторым. Имеем: 31; 32; 34; 35; 36; 37. Из этих шести исходов событию В благоприятствуют три  исхода: 31; 35; 37. Поэтому РА(В)=3/6=1/2. Таким образом, получен тот же самый результат.

 Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)* РА(В)                   (*)

Докажем теорему для схемы случаев . Пусть в результате опыта возможны N исходов, М из которых благоприятствуют событию А, а К—событию В. Пусть, далее,  L исходов благоприятствуют одновременному наступлению событий А и В. Тогда Р(А)==М/N, Р(АВ)=L/N. Так как событию А благоприятствуют М исходов и только L из них благоприятствуют событию В, то условная вероятность РА(В )=L/М. Полагая, что событие А может произойти в результате опыта, а это означает, что М≠0, получаем

Р(АВ)=L/N=(М/N)/(L/М)=Р{А} РА(В)

Задача. В коробке девять одинаковых радиоламп, три  из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радио­лампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Вероятность того, что первая взятая радиолампа была в употреблении (событие А), равна Р(А)=3/9. После того как произошло событие А, в коробке осталось восемь ра­диоламп, из которых две была в употреблении. Поэтому для события В, состоящего в появлении второй раз радиолампы, бывшей в употреблении, условная вероятность РА(В)=2/8. Следовательно, вероятность появления двух таких ламп Р(АВ)=Р(А) РА(В )=3/9 *2/8= 1/12.

Заметим, что задачу можно решить, если воспользоваться комбинаторикой. В том случае ответом на вопрос задачи является число С23/С29=1/12.

Определение. Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого, т. е.  Р(А)= РВ(А) или Р(В)= РА(В).

Теорема. Вероятность совместного появления двух не­зависимых событий равна произведению их вероятностей, т. е.

Р(АВ)=Р(А)Р(В).               (**)

Пусть события А и В независимы; тогда должно выполняться равенство РА(В) =Р(В). Подставляя это равенство в формулу Р(АВ)=Р(А) РА(В), получаем

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Нетрудно доказать обратное утверждение.

Теорема. Если для двух событий выполняется равенство (**), то эти события независимые.

Пусть для событий А и В выполняется равенство (**). По теореме умножения вероятностей, Р(АВ)=Р(А) РА(В). Тогда Р(АВ)=Р(А)Р(В)=Р(А) РА(В), откуда Р(В)= РА(В). Следовательно, события А и В независимые. •

 Если события наступают в разных испытаниях и условия этих испытаний не влияют друг на друга, т. е. наступление одного события не изменяет условий второго испытания, то события независимы.

Задача. Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2, а второго—0,13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?

Станки работают независимо друг от друга, поэтому событие (поломка первого станка) и событие В (поломка второго станка) независимы. Тогда

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,2 •0,13=0,026.

Задача. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго—0,8. Какова веро­ятность того, что мишень будет поражена?

Мишень будет поражена, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т. е. произойдет событие А + В, где событие А заключается в попадании в мишень первым спортсменом, а событие В—вторым. Тогда

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,8-0,7 *0,8=0,94.

Независимые события обладают рядом свойств. Докажем два из них.

1 °. Если события А и В независимы, то независимы события А и В.

2°. Если два события независимы. то независимы и противоположные им события.

Теорема. Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, в частности для трех событий  справедлива формуле:

Р(АВС)=Р(А)РА(В)РАВ(С)

Определение. События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если наряду с их попарной независимостью независимы любое из них и произведение любого числа из остальных, в противном случае события называются зависимыми.

Из определения следует, что события независимы в совокупности, если вероятность появления одного из них не меняется при появлении каких-либо других из оставшихся событий.

Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Р(А1А2А3...Аn)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)...Р(Аn).     (***)

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких  (больше двух) событий недостаточно выполнения равенства (***)