2.4 теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Теория вероятностей позволяет определять вероятность события по известным вероятностям других событий, если последние связаны с первым. В этом случае используют теоремы сложения и умножения вероятностей. Эти теоремы дают возможность найти вероятность появления одного из нескольких случайных событий или вероятность совместного поступления двух событий и более. Прежде чем рассматривать теорему сложения вероятностей, решим следующую задачу.

Задача . В ящике 12 белых, 7 черных и 11 синих одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар не белый?

Решение: Количество всех шаров в ящике равно 30, т. е. число N всех исходов испытания, заключающегося в вынимании одного шара, равно 30. Если вынутый шар не белый, то это означает, что он либо черный, либо синий. Вынуть либо черный, либо синий шар по правилу сложения можно 7+11=18 способами. Следовательно, число М исходов, благоприятст­вующих событию С, которое состоит в вынимании не белого шара, равно 18. Тогда

Р(С)=М/N=18/30=3/5.

Пусть теперь событие А — «появится черный шар», а собы­тие Д — «появится синий шар». Найдем вероятности этих событий. Имеем Р(А)=7/30, Р(В)-=11/30. Сложив полученные вероятности, получим Р(А)+Р(В)=7/30+11/30=18/30=3/5=Р(С). Заметим, что событие С является суммой событий  А и В, т.е. С=А+В. Полученный результат обобщим в виде следующей теоремы.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных  событий, неважно какого, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).              (*)

Введем следующие обозначения: N—общее число возможных исходов испытания; М—число исходов, благоприятствующих событию А; L—число исходов, благоприятствующих  событию В. Тогда Р(А)=М1N, Р(B)=L/N. Так как события A и В несовместны, то нет таких исходов, которые были благоприятствующими и событию А, и событию В одновременно.  Поэтому событию А + В  благоприятствуют М+L исходов и

Р(А+В)=(М+L)/N=М/N+L/N=Р(А)+Р(В).

Используя метод математической индукции, можно доказанную теорему обобщить на любое конечное число попарно несовместных событий.

Теорема. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А1+А2+А3+...+Аn)=Р(А1)+Р(A2)+Р(А3)+...+Р(Аn)   (**)

 Задача . От коллектива бригады, которая состоит из 6 мужчин и 4 женщин. На профсоюзную конференцию выбираются два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина?

Обозначим через А событие, состоящее в том, что среди выбранных двух делегатов хотя бы одна женщина. Если произойдет событие А, то обязательно произойдет одно из следующих несовместных событий; А—«выбраны мужчина и женщина»; С—«выбраны две женщины». Поэтому можно писать: А=В+С. Найдем вероятности событий В и С. Два человека из 10 можно выбрать С210 способами. Это и есть число всех исходов испытания (выбора двух человек). Двух женщин из 4 можно выбрать С24 способами. Мужчину женщину по правилу умножения можно выбрать 6 • 4 способами.

Тогда Р(В)=6*4/С210, Р(С)= С24 /С210. Так как события В и С несовместны, то, по теореме сложения,   Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С)=8/15+2/15=2/3.

При решении рассмотренной задачи не рассматривалось событие D—«выбраны двое мужчин», вероятность которого Р(D) равна С26 /С210  = 1/3. Теперь можно заметить, что события В, С, D образуют полную группу, события D и А—проти­воположные, а Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.

Обобщим и докажем полученные результаты в виде следствий теоремы сложения. Эти действия помогают упро­стить решение многих вероятностных задач.

Следствие 1. Сумма вероятностей попарно несовместных событий А1, А2, А3, …, Аn образующих полную группу, равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А)+Р(Ậ)=1.

Для решения задач удобно  использовать следствие 2, записанное в виде Р(А)= 1—Р(Ậ). Это связано с тем, что часто бывает трудно вычислить вероятность некоторого со­бытия А, а вероятность противоположного события Ậ вычис­ляется легко. В таких случаях сначала вычисляют вероятность противоположного события, а уже затем вероятность самого события, используя приведенную выше формулу. Проиллюст­рируем применение следствий теоремы сложения следующими задачами.

Задача. Бросаются три игральных кубика (можно один кубик три раза). Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 17?

В результате бросания трех игральных кубиков могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятности появления 14 сумм очков от 3 до 16, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция. Поступим по-другому. Найдем вероятность выпадения 17 и 18 очков. При бросании трех кубиков, возможно, всего N= 6*6*6=216 исходов; 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех кубиках 6 очков. Поэтому вероятность падания 18 очков равна 1/216. В трех случаях могут выпасть 17 очков. Это произойдет тогда, когда на одном из кубиков 5 очков, а на остальных по 6 очков. Следовательно, вероятность выпадения 17 очков равна 3/216. События «сумма выпавших очков меньше 17» и «сумма выпавших очков больше 16» являются противоположными. Обозначим их А и Ậ соответвенно. Тогда, по теореме сложения вероятностей, Р(Ậ)=3/216+1/216= 1/54. Откуда Р(А)=1-Р(Ậ)=1-1/54=53/54.

Задача. Среди одинаковых по внешнему виду 11 изделий находятся три бракованных. Произвольно вынимают три изделия. Найти вероятность того, что среди них, хотя одно бракованное.

События «среди вынутых трех изделий хотя бы одно бракованное» и «среди вынутых трех изделий нет бракованных» являются противоположными. Обозначим их А и Ậ соответвенно. Найдем вероятность события Ậ. Число всех исходов испытания_равно С311, а число исходов, благоприятствующих бытию А, равно С38 (из 11 изделий по условию 8 стандартных). Следовательно, Р(А)=С38 /С311=56/165, Р(А)=1-Р(Ậ)=1-56/165=109/165.

Рассмотренная выше теорема сложения вероятностей при вычислении вероятности суммы событий предусматривала их несовместность. Если же события совместны, то формула вероятности их суммы будет иной. Убедимся в этом при решении следующей задачи.

Задача. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий— только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Рассмотрим следующие события: А—«у изделия не выдержан первый параметр»; В — «у изделия не выдержан второй параметр»; С –«изделие не удовлетворяет стандарту».

Событию АВ, состоящему в том; что у взятой детали не выдержаны оба параметра, благоприятствуют три исхода. Событию А благоприятствуют 8+3=11 исходов, а событию В благоприятствуют 6+3=9 исходов. Число нестандартных изделий равно 8+6+3=11+9—3=17. Следовательно, событию С благоприятствуют 17 исходов. Тогда

Р(С)=17/25=(11+9-3)/25= 11/25+9/25-3/25.

С другой стороны, Р(А)=11/25, Р{В)=9/25, Р(АВ)=3/25. Поэтому можно записать

Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Наступление события С означает, что у взятого наудачу изделия либо не выдержан первый параметр, либо второй, либо оба вместе, т. е. С=А+В (см. определение суммы событий). Таким образом, можно записать  Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)= 17/25.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т. е.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).          (***)

Теорема хорошо иллюстрируется диаграммой Венна. Здесь следует помнить, что вероятность события пропорциональна площади фигуры, которая соответствует данному событию. Событию А + В на рис. 3.2 соответствует фигура А+В, которая обведена жирной линией. Событию А соответствует фигура А, а событию В—фигура В. Фигура, имеющая двойную штриховку, соответствует событию АВ.

При вычислении вероятности суммы совместных событий требуется, как видно из формул, уметь находить вероятность произведений событий. В простейших случаях не представляет трудности. Однако при решении более сложных задач нахождение вероятности произведения нескольких событий затруднительно.