Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся - Учебное пособие (Мельникова Ю.Б.)

2.2 операции над событиями

В некоторых разделах математики вводятся операция над изучаемыми объектами. Так как свойства этих операций аналогичны свойствам арифметических действий, то и свое название они получили по аналогии с арифметическими действиями. К таким операциям относятся операции сложения и умножения чисел, векторов, матриц. Подобные операции над событиями вводятся и в теории вероятностей; они позволяют упростить форму записи, а иногда и логическое построение рассуждений.

Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее е наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Сумму событий будем обозначать знаком «+».

Если имеются два совместных события А и В, то сумма А+В означает, что наступит событие А, или событие В, или оба события вместе. Если же события несовместны, то со­бытие А+В заключается в том, что наступит событие А или событие В, так как совместное наступление событий А и В невозможно. В этом случае знак «+» заменяет союз «или». Про событие А+В+С можно сказать, что оно состоит в наступлении одного из событий А. В, С. или в совместном наступлении пары событий А и В, А и С, В и С, или в совместном наступлении всех трех событий.

Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается одни шар. Возможны следующие события: А— «вынут красный шар»; В—«вынут белый шар»; С—«вынут черный шар». Событие А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», а событие В+С—«вынут не красный шар». •

Пример. Турист хочет и имеет возможность посетить три города. Обозначим события: А—«турист посетил город А». В—«турист посетил город В»; С—«турист посетил город С». Событие А+С заключается а том, что турист посетил только один из городов А и С или он посетил их оба. •

Пример. Монета бросается четыре раза. Рассмотрим следующие события: Ai—«герб» появился i раз», i=0. I, 2. 3, 4. Событие В=А0+А2 + А1 означает, что «герб» выпал не более двух раз, т.е. произошло событие «или «герб» не появился, или «герб»

 

                           

 появился один раз, или «герб» появился два раза». Событие А1+А2+А3+А4 означает, что «герб» появился хотя бы один раз. Все указанные события попарно несовместны, поэтому знак в данном случае означает союз «или». Заметим, что рассмотренное испытание можно заменить одним бросанием четырех монет сразу. •

Операция сложения событий, как и другие операции имеет полезную геометрическую интерпретацию. Пусть на плоскости имеется некоторая фигура А и на  плоскость произвольным образом бросается точка. Если точка попала в фигуру А, то будем считать, что произошло событие А.

На рис.  а изображены фигуры А и В, которые соответствуют события А и В. Если точка попадет в область с двойной штриховкой, то события А и В произойдут, одновременно. Этот рисунок иллюстрирует совместные события. Сумме событий соответствует вся заштрихованная область. Она обведена жирной линией. На рис.  б) изображены области, которым соответствуют два несовместных события, так как точка не может одновременно попасть и в область А, и в область В, поэтому события А и В не могут произойти вместе. Сумме А + В соответствуют две непересекающиеся области, обведенные жирной линией. На рис. в жирной линией отмечена область, соответствующая сумме А+В+С. Если в этом случае точка попадет в область с тройной  штриховкой, то наступят совместно все три события. При попадании точки в область с двойной штриховкой произойдут совместно события А и В, или А и С, или В и С. Приведен рисунки обычно называют диаграммами Венна.

Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Произведение событий будем обозначать знаком «•»

В данном случае знак «•» заменяет союз «и». Например если произошло АВС, то это означает, что наступило событие «А и В и С». В дальнейшем знак «•»  будем опускать.

Пример. Пусть имеются следующие события: А—«из колоды карт вынута «дама»; В—«из колоды карт вынута карта пиковой масти». Очевидно, АВ есть событие «вынута дама пик». •

Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А—«число выпавших очков меньше 5»; В— «число выпавших очков больше 2»; С— «число выпавших очков четное». Тогда событие АВС заключается в том, что выпало 3 очка. •

Рассмотрим теперь диаграммы Венна, соответствующие произведению событий. На рис.  а) изображена диаграмма Венна, иллюстрирующая произведение двух событий, а на рис. б) —диаграмма, иллюстрирующая произведение трех событий. Любая точка, попавшая в заштрихованную и об­веденную жирной линией область, обязательно попадет в об­ласти А и В в первом случае и в области А, В и С во втором случае. Это означает, что наступят события АВ и АВС, так как в первом случае одновременно наступят события А и В, а во втором—события А, В и С.

Пусть имеются три события А, В, С, каждые два из которых совместны, но произведение этих событий является невозмож­ным событием. Диаграмма Венна, иллюстрирующая этот случай, изображена на рис. в. Как видно из рисунка, не найдется ни одной точки плоскости, которая принадлежала бы всем трем областям А, В, С одновременно. Следовательно, события А, В, С не могут наступить все вместе, т. с. они не являются совместными в совокупности, хотя они попарно совместны.

     

Определение. События называются совместными в со­вокупности, если каждое из них и произведение остальных являются совместными событиями.

Из определения произведения следует, что события, участ­вующие в произведении, должны быть совместными в совокуп­ности. В противном случае произведение событий является событием невозможным. Используя операции сложения и умножения, можно слож­ное событие разложить на более простые события, и наоборот.