Нарисна геометрія - Підручник (Римар О.М.)

11.1. перетин площиною поверхонь обертання

 

Перетин циліндричної поверхні

Перетин такої поверхні площиною дає:

- перпендикулярно до осі обертання - коло;

- паралельно до осі і- дві прямі;

- під довільним кутом до осі і – еліпс.

Проекції лінії перетину залежать від розташування осі обертання поверхні

 

(рис. 61), де е  та  k  -  лінії перетину. На рис. а горизонтальна проекція лі-

нії перетину 1е співпадає із горизонтальною проекцією циліндричної поверхні. На рис. б  горизонтальна проекція лінії перетину аналогічна, але перетин циліндричної поверхні площиною b  формує лінію перетину у еліптичну криву, фронтальна проекція якої проектується в саму площину b,  а

профільна – в еліпс 3е. Півосі еліпса  3е  визначаються точками  31,33,32,34, які проектуються із фронтальної проекції. Площина g  на рис. в  перетинає циліндричну поверхню, проходячи паралельно до осі обертання  і, тому утворюються дві прямі лінії перетину k1  та  k2,   які є фронтально-проектуючими.

 

Рис. 61. Перетин циліндричної поверхні площиною

 

Перетин сферичної поверхні

 

Перетин такої поверхні площиною завжди дає коло, яке може проектуватися в пряму, коло або еліпс. Якщо січна площина є площиною рівня, то коло проектується на одну з площин в дійсну величину, а на дві інші в пряму (рис. 62). Якщо січна площина є проектуючою, то коло проектується в еліпс, як показано на рис. 63, де сферу по колу перетинає фронтально-проектуюча площина  b. Особливі точки поверхні 21,23 визначають діаметр кола як лінії перетину е. Розділивши відстань 21,23 на дві рівні частини, одержимо центр кола О. Через 2О проводимо допоміжну площину 2γ, перетин якої з площиною β дає пряму b, а з поверхнею a - коло a. Перетин ліній b, a дає точки 2,4. Точки 2,4 та 1,3 визначають півосі еліпса 1е , який в точках 5,6 торкається кривої 1a. За проекціями точок 32,34 та 31,33 знаходимо проекцію кола 3е, яка в точках 37,38  торкається 3a. Штриховими лініями показано невидимі дільниці лінії е.

 

Рис. 62. Перетин сферичної поверхні площинами рівня

Рис. 63. Перетин сферичної поверхні a проектуючою площиною β

 

Перетин конічної поверхні

 

Перетин конічної поверхні площинами дає лінії, які часто називають конічними перерізами. Зображені на рис. 64 площини дають лінії перетину:

- α – коло (α ^ i) ;

- β - еліпс, при цьому кут π/2 > ( >βі) > ( >tі);

- γ – параболу, γ || t;

- δ - гіперболу при цьому кут 0< ( >dі) £ ( >tі);

- κ- прямі лінії,  S Î κ.

 

     

Рис. 64. Перетин конічної поверхні       Рис. 65. Перетин конічної поверхні

              площинами                                                площиною рівня

 

На рис. 66 знайдено лінію перетину e конічної поверхні α проектуючою площиною β. Ця лінія є кривою другого порядку – еліпсом, який на фронтальній проекції конуса проектується в пряму. Точки 1,3 находяться в перетині твірних конуса площиною β, при цьому вони розташовані на головних меридіанах, тому для знаходження їх проекцій не потрібні допоміжні площини.

Рис. 66. Перетин конічної поверхні проектуючою площиною

 

Проекції точок 11, 13 визначають великі півосі еліпсів 1e2 та 3e2. Для знаходження малих півосей цих еліпсів знаходимо проекції центра О, який ділить відстань 1, 3 навпіл. Тепер через проекцію точки 2О проводимо допоміжну площину 2γ, яка перетинає конус по колу a(1a,2а) та площину β по прямій b(1b, 2b). Точки перетину 2,4 прямої b з колом а визначають малі півосі проекцій еліпса. В перетині площини β з основою конуса одержуємо точки 5,6. В точках 7,8 крива 3е2 торкається головних меридіанів на профільній проекції. Застосування площини γ відповідає, в деталях, алгоритму із таблиці 5. Штриховими лініями показані невидимі лінії при умові, що конічна поверхня непрозора.

 

Запитання для самоперевірки

1.Навести алгоритм знаходження лінії перетину площиною.

2.Який спосіб застосовується для знаходження лінії перетину?

3.Що таке конічні перерізи?

4.Які лінії утворюються в перетині поверхні площиною?

5.Які точки лінії перетину є особливими?

6.Як будується лінія перетину?

7.Яка лінія утворюється в перетині сфери площиною ?

8.Які лінії утворюються в перетині циліндра площиною?