§ 1. свойства касательных и секущих к окружности

Будем рассматривать окружность w с центром в точке O и радиусом R (далее будем использовать обозначение )  и точку М. Заметим, что точка М относительно окружности может располагаться тремя способами:

М лежит вне окружности;

М лежит на окружности;

М лежит внутри окружности.

Нас в дальнейшем будут интересовать только случаи а) и с).

                Проведем через точку М две прямые, которые пересекают окружность в точках А, В и А1, В1 – соответственно (смотри рисунки 1 и 3), причем последняя прямая проходит через центр окружности.

Рассмотрим первый случай: точка вне окружности. Так как четырехугольник АВВ1А1- вписан в окружность, то  и , поэтому в треугольниках MBB1  и MAA1  равны пары углов  и . Поэтому рассматриваемые треугольники подобны (по трем углам). Откуда следует соотношение:

,

из которого можно получить:

.                  (1.1)

                Представим MA1=MO-R, MB1=MO+R и подставим эти выражения в (1.1). В результате получим:

.               (1.2)

Так как МО и R – величины, связанные только с сточкой и окружностью, то какой бы мы не выбрали первую прямую (секущую), произведение отрезков секущей будет постоянным числом.

                Обратим внимание на еще одну делать: проведем из точки М касательную МТ к окружности. Учитывая, что радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен к касательной, по теореме Пифагора  находим:

.                  (1.3)

                Перейдем теперь к случаю, когда точка М лежит внутри окружности (смотри рисунок 3). Нетрудно показать, что треугольники MBB1  и MAA1 подобны. Поэтому имеет место равенство . Заметим, что

MA1=R-MO, MB1=R+MO, откуда следует:

.                               (1.4)

Сравнив формулы (1.2) и (1.4), замечаем, что правые части в них отличаются только знаком, а само произведение отрезков секущей вновь зависит только от расстояния от точки до центра окружности и радиуса этой окружности.

Исходя из рассмотренных выше свойств, дадим определение степени точки относительно окружности.

Определение 1. Степенью точки М относительно окружности  будем называть число  deg(M,w)=MO2-R2.                             (1.5)

Как видно из определения, степень точки положительна, если она лежит вне окружности, равна нулю, если точка лежит на окружности и отрицательна, если точка лежит внутри окружности.

Упражнения

Докажите, что все точки, имеющие относительно данной окружности одну и ту же степень лежат на окружности с тем же центром.

Докажите, что середина отрезка общей касательной к двум окружностям имеет относительно каждой из них одинаковую степень.

Докажите формулу (1.4).