Парадоксы из истории формализации и моделирования

Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Виды моделирования. Все виды моделирования можно классифицировать следующим образом:

относительно значения параметров и времени их делят на: дискретное моделирование; непрерывное моделирование; дискретно-непрерывное моделирование;

относительно протекания процесса во времени различают: статическое моделирование; динамическое моделирование;

относительно способа представления модели моделирование делят на: аналитическое; концептуальное; структурно-функциональное; экспериментальное;

относительно математики и физических явлений различают: математическое (логико-математическое моделирование); физическое моделирование.

Имитационное моделирование можно отнести к каждой из перечисленных групп. Разумеется, перечисленные выше виды моделирования не являются взаимоисключающими и могут применяться при исследовании сложных объектов либо одновременно, либо в некоторой комбинации. Традиционно под моделированием на ЭВМ понималось лишь имитационное моделирование. Можно, однако, увидеть, что и при других видах моделирования компьютер может быть весьма полезен, за исключением разве физического моделирования, где компьютер вообще-то тоже может использоваться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования. Например, при математическом моделировании выполнение одного из основных этапов - построение математических моделей по экспериментальным данным - в настоящее время просто немыслимо без компьютера. В последние годы, благодаря развитию графического интерфейса и графических пакетов, широкое развитие получило компьютерное, структурно-функциональное моделирование. Положено начало использованию компьютера даже при концептуальном моделировании, где он используется, например, при построении систем искусственного интеллекта. «Компьютерное моделирование" значительно шире традиционного понятия "моделирование на ЭВМ".

Составление математических моделей. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Математическая модель - модель, в которой для описания свойств и типичных черт объекта используются математические символы.

 Математика как наука возникла из чисто практических нужд человека. Благодаря своей практической значимости математика развивается до сих пор. Перекладывая конкретную математическую задачу на язык математики (составление уравнения, чертеж фигуры), мы занимаемся тем, что строим математическую модель.

Покупая в магазине разные продукты, вы автоматически занимаетесь простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, вы (или кассир) складываете абстрактные числа, оплачиваете сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаете конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического моделирования вы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Вы перекладывали практическую задачу  на математический язык, решали математическую задачу, а затем интерпретировали математический результат.

Процесс математического моделирования - это процесс построения математической модели. Он состоит из следующих этапов:

Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнений, неравенств, системы уравнений и неравенств и т. д.

Решение математической задачи: уравнения, неравенства, системы и т. д.

Интерпретация  математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

Проверка результата практикой.

Первые три этапа вы все применяли при решении текстовых алгебраических задач. И если вы не допустили ошибок, что легко проверяется по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно. При решении практических задач такого ответа не существует. Представьте себе, что решается сложная задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая задача. В таких случаях необходима проверка математических выводов экспериментом.

Чтобы проверить теоретические выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет - и сначала проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. Затем проводят испытания в настоящем полете. Во время испытания выявляются недостатки, уточняются условия задачи, уточняются и проверяются все три этапа ее решения. Затем снова эксперимент, и так до получения хорошего для практики результата.

Таким образом, вырисовывается следующая схема математического моделирования:

Задача. Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половину всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину – по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег – на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?

Решение. I. Введем обозначения:

S - число тюбиков, купленных каждым художником;

х рублей – сумма, затраченная на покупку первым художником;

y рублей - сумма, затраченная на покупку вторым художником.

По условию задачи имеем:

S/2 Ÿ a + S/2 Ÿ b = x,    (1)

y/ 2a + y/ 2b =S,           (2)

Итак, нужно выяснить, какое из чисел, x или y, меньше другого, если положительные числа a, b, x,  y, S удовлетворяют равенствам (1), (2). Эта математическая задача и есть математическая модель данной практической задачи.

Приведем некоторые типы задач, решаемых методом моделирования на разных языках с применением компьютера.

Задача. Автобаза должна выделить в распоряжение хлебозавода не менее 8 машин грузоподъемностью по 3 тонны и не менее 6 машин по 5 тонн. Всего база может выделить не более 15 машин. Сколько машин по 3 и 5 тонн нужно выделить, чтобы их общая грузоподъемность была набольшей?

Задача. С железнодорожных станций А и В нужно развести грузы на склады №1, №2 и №3. На станции А весь груз можно погрузить на 80 машин, а на станции В – на 100 машин. Склады должны принять №1 – 50 машин, №2 – 70 машин, №3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег от станции до склада, задается следующей таблицей:

Требуется составить план перевозок, при котором общий расход бензина будет наименьшим.

Задача. На станках А и В разной производительности обрабатываются детали №1, №2 и №3. Всего нужно обработать деталей №1 – 100 штук, №2 – 140 штук и №3 – 110 штук. На станке А можно обработать 160 деталей, а на станке В – 190 деталей. Стоимость электроэнергии (в рублях), затрачиваемой одним станком на обработку одной детали, дается следующей таблицей:

Требуется составить такой план работы станков, при котором затраты электроэнергии будут наименьшими.

Задача. Трансформаторный цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида – 3 кг железа и 2 кг проволоки. Какое количество трансформаторов каждого вида должен выпускать цех, имея 480 кг железа и 300 кг проволоки, что бы прибыль от их реализации была максимальной, если прибыль от трансформаторов первого вида – 25 рублей, от трансформаторов второго вида – 30 рублей.

Задача. В мастерской артели освоили производство столов и тумбочек для торговой сети. На их изготовление имеется два вида древесины: I – 72 м3 и II – 56 м3. На каждое изделие требуется того и другого вида древесины в м3:

От производства одного стола артель получает чистого дохода 110 рублей и от производства одной тумбочки – 70 рублей. Определить, сколько столов и тумбочек должна производить артель из имеющегося материала, чтобы обеспечить максимальный доход?

Задача о рекламе. Средства массовой информации дают рекламные объявления для ускорения сбыта некоторой продукции, которая есть в продаже. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. По какому закону распространяется известие о наличии этой продукции?

Решение. Пусть N – число потенциальных покупателей данной продукции и в момент времени t об ее наличии в продаже знают   х (t) покупателей. Хотя на самом деле число покупателей целое, но для абстрактной математической модели можно считать, что функция  х (t) может принимать все значения от 0 до N.

Статистика показывает, что с большой степенью достоверности скорость изменения функции  х (t)  прямо пропорциональна как числу знающих о продукции, так и числу не знающих. Если  условится, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N /g человек, то приходим к дифференциальному уравнению

x '(t) = k·x(t)·( N – x(t))             (1)

с начальными условиями х = N / g  при t = 0.  В уравнении  (1) коэффициент k  – это положительный коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы и скорости распространения слухов.

Интегрируя уравнение (1), находим, что

1 / N· ln (x /(N – x)) = k·t + С.

Полагая  NC = C1, приходим к равенству

x / (N – x) = AеN·k· t , где  А = еC1 .

Если последнее уравнение разрешить относительно х, то получим соотношение

    х (t) = N· A·е N·k··t / (A·еN·k·t + 1) = N / (1 + Р·е –N·k·t ),           (2)

где Р = 1/ A.

Если учесть теперь начальные условия, то уравнение (2) перепишется в виде

х (t) = N / (1 + (g -1)·e–N·k·t )                                                                                                                                                                                                 

График функции  (2)  при каждом фиксированном  значении  Р называют  интегральной кривой дифференциального уравнения  (1). В экономической     литературе график функции (2) при каждом значении Р называют логистической кривой.                                                                                                                                                                                                                                                                 

На  рисунке  1  схематически  изображена  логистическая  кривая  при  Р=1 (g=2), то есть при  х(0) = N / 2.

Задача (химия и технология производства). Через сосуд ёмкостью а литров, наполненный водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает такое же количество раствора.

Найти закон, по которому изменяется содержание соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд.

Решение: в данный момент времени t в сосуде содержится некоторое число x кг соли, а в b литрах кг.

Если бы в течение единицы времени, начиная с момента t , концентрация раствора оставалась неизменной, т.е. такой, какой она была в момент времени t, то количество соли в сосуде за эту единицу времени уменьшилось бы на кг; такова скорость уменьшения количества соли в сосуде для момента t.

С другой стороны, производная   равна скорости прироста количества соли в момент t; значит, скорость уменьшения количества соли в момент t будет равна .  Итак, имеем:   (1).

Разделим переменные: , откуда , или потенцируя,

 (2),

где  - произвольная постоянная.

Предположим для определенности, что при t=0 количество соли в сосуде было равно c кг.

Полагая в формуле (2) t=0, найдем, что  и получим окончательно , т.е. количество соли убывает с течением времени по «показательному» закону.

Ответ:

Задача (биология, процессы прироста). В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента  пропорциональна наличному его количеству x. Первоначальное количество фермента было a. Через час оно удвоилось. Во сколько раз оно увеличится через 3 часа?

Решение:

По условию дифференциальное уравнение процесса   (1),

где k – коэффициент пропорциональности.

Разделяя переменные, получим:   (2).

Отсюда, общее решение  (3).

Найдем с из начального условия: при t=0, x=a. Отсюда , или c = a.

Подставляя в общее решение, получим частное решение задачи: (4).

Коэффициент пропорциональности определяем из данных дополнительных условий: при t=1час; x=2a.

Отсюда: , или . Подставляя в частное решение (4), получим закон рассматриваемого процесса: .

При t = 3часа, x = 8a. Следовательно, количество фермента спустя три часа увеличится в 8 раз.

Ответ: за три часа количество фермента увеличится в 8 раз.

Задачи с применением теории графов

Перейдем к решению прикладных задач с помощью теории графов. Эти задачи отличаются от тех, которые мы с вами решали, тем, что:

они сформулированы так, что явно не сказано о каких графах идёт речь, т.к. условие многих из них задано сюжетом;

большинство из них решаются с помощью большого объёма теоретического материала, поэтому при решении этих задач надо оперировать большинством понятий и их свойств;

для многих из них нет чёткого алгоритма решения. При рассмотрении каждой задачи необходимо творчески подходить к процессу её решения.

Задача. Как вы помните, охотник за мертвыми душами Чичиков побывал у известных помещиков по одному разу у каждого. Он посещал их в следующем порядке: Манилова, Коробочку, Ноздрева, Собакевича, Плюшкина, Тентетникова, генерала Бетрищева, Петуха, Констанжолго, полковника Кошкарева. Найдена схема, на которой Чичиков набросал взаимное расположение имений и проселочных дорог, соединяющих их. Установите, какое имение кому принадлежит, если ни одной из дорог Чичиков не проезжал более одного раза.

                                     Д                                     К

   Е                    

                          С                       Н

                                                                           О

                             А                          F

          В                                          М

Задача. В бюро по туризму составляются маршруты путей для автотуристов, которые должны проехать из пункта S в пункт R и по пути осмотреть все местные достопримечательности. Помогите бюро составить такой маршрут, чтобы туристы в каждый из указанных пунктов попадали не более одного раза. Существует ли хотя бы один такой маршрут? Сколько их может быть при данной схеме дорог? Выпишите последовательность пунктов для каждого найденного маршрута.

Задача. Муха в банке. Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

Задача. На рисунке изображена схема зоопарка (вершины графа - вход, выход, перекрестки, повороты, тупики; ребра – дорожки, вдоль которых расположены клетки). Назовите маршрут, по которому экскурсовод мог бы провести посетителей, показав им всех зверей и не проходя более одного раза ни одного участка пути.

                   1 Вход              4                    8                       7

      2                  3                   5                                        6                 10

                            12                   11       9         

              13

                                       14 Выход

Задача. В бюро по туризму составляются маршруты путей для автотуристов, которые должны проехать из пункта S в пункт R и по пути осмотреть все местные достопримечательности. Помогите бюро составить такой маршрут, чтобы туристы в каждый из указанных пунктов попадали не более одного раза. Существует ли хотя бы один такой маршрут? Сколько их может быть при данной схеме дорог? Выпишите последовательность пунктов для каждого найденного маршрута.

      А                          В

                 C

          S

  D         E         F                R

H

Задача. В бюро по туризму составляются маршруты путей для автотуристов, которые должны проехать из пункта S в пункт R и по пути осмотреть все местные достопримечательности. Помогите бюро составить такой маршрут, чтобы туристы в каждый из указанных пунктов попадали не более одного раза. Существует ли хотя бы один такой маршрут? Сколько их может быть при данной схеме дорог? Выпишите последовательность пунктов для каждого найденного маршрута.

   S

                                                                                           R

Задача. На рисунке изображена схема, на которой точкой отмечен магазин, а остальными вершинами места жительства заказчиков. Как шоферу машины “Доставка на дом” объехать всех заказчиков, не подъезжая к одному дому более одного раза.

                                              М

                                                             1

                                         2                          9

                                                         6

                                   3          5            7           8

                                                       4

Задача. Участники пионерского слета, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что:

а) всего было передано четное число конвертов;

б) число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четно.

Задача. В обществе, состоящем из 1982 человек, среди любых четырех человек можно выбрать по крайне мере одного, знакомого с остальными тремя. Каково минимально возможное количество людей, которые знакомы со всеми.

Задача. В некотором обществе любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Доказать, что в этом обществе все имеют одинаковое число знакомых.

Задача. В любой из трех школ учится по n человек. Любой ученик имеет в сумме n+1 знакомых учеников из других школ. Доказать, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы так, чтобы все трое выбранных учеников были знакомы друг с другом.

Задача. Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только двумя другими. Возможна ли такая компания?

Задача. 7 школьников разъезжаясь на каникулы договорились, что каждый из них пошлет открытки трем из остальных. Может ли оказаться, что каждый получит открытки именно от тех друзей, которым пошлет сам?

Задача. В компании, состоящей из пяти человек, среди любых трех человек найдутся двое, которые знают друг друга, и двое, незнакомых друг с другом. Доказать, что компанию можно рассадить за круглым столом так, чтобы по обе стороны от каждого человека сидели его знакомые.

Задача. Девять математиков встретились на международной конференции и обнаружили, что среди любых трех из них, по меньшей мере, двое говорят на одном языке. Кроме того, каждый математик может говорить не более чем на трех языках. Доказать, что хотя бы три из них говорят на одном и том же языке.

Задача. В комнате находится 10 человек, причем среди любых трех из них есть двое знакомых между собой. Доказать, что: а) найдутся четыре человека, любые два из которых знакомы друг с другом; б) останется ли утверждение верным, если число 10 заменить на число 9?

Задача. В поселке живут 100 жительниц. У каждой из них имеются 3 знакомые жительницы. Первого января одна узнала интересную новость и сообщила ее 3 своим знакомым; 2 января те сообщили новость всем своим знакомым и т.д. Может ли случиться так, что 5 марта еще не все жительницы будут знать эту новость, а 19 марта – все?

Задача. Лист бумаги Плюшкин разрезал на 3 части. Некоторые из полученных листов он также разрезал на три части. Несколько новых листиков он вновь разрезает на три более мелкие части и т.д. Сколько Плюшкин получает листков, если разрезает k листков?

Задача. Сколько получится листков бумаги, если первоначально было m листов, некоторые листы разрезали на n частей, а всего было разрезано k листов?

Задача. Сколько различных обедов Чичиков мог насчитать из блюд, выставленных на столе у Петухова, если бы на каждый обед выбирать только одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? На столе у Петухова на этот раз были выставлены из холодных блюд студень с хреном, свежая икра стерляжья, свеже просоленная белужина; на первое – уха из стерлядей, щи с грибами; на второе осетрина жаренная, теленок жаренный на вертеле, на третье – арбузы, груши.

Задача. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одному разу). Покажите, что в любой момент найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.

Задача. Девять человек проводят шахматный турнир в один круг. К некоторому моменту выясняется, что в точности двое сыграли одинаковое число партий. Докажите, что тогда либо в точности один участник не сыграл еще ни одной партии, либо в точности один сыграл все партии.

Задача. Кто играет Тяпкина-Ляпкина. В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима, - с раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.

. . . А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.

Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

Задача. На участке 3 дома и 3 колодца. От каждого дома, к каждому колодцу ведет тропинка. Когда владельцы домов поссорились, они задумали проложить дороги от каждого дома к каждому колодцу так, чтобы не встречаться на пути к колодцам. покажите, что их намерения не могли осуществиться.

Задача. На каждой из планет некоторой системы находится астроном, наблюдающий ближайшую планету. Расстояния между планетами попарно различны. Докажите, что если число планет нечетно, то какую-нибудь планету никто не наблюдает.

Задача. На берегу большого круглого озера расположено несколько населенных пунктов. Между некоторыми из них установлено теплоходное сообщение. Известно, что два пункта связаны рейсом тогда и только тогда, когда два следующих за ними против часовой стрелки пункта рейсом не связаны. Докажите, что из любого пункта в любой другой пункт можно добраться теплоходом, причем не более чем с двумя пересадками.

Задача. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки простывали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом один день, причем после этого у него по крайне мере еще один день есть иммунитет - т.е. он здоров, и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что:

а) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколько угодно долго;

б) если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

Задача. Задача о Кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на берегах и двух островах реки Прегель (Преголи). Различные части города соединены семью мостами, как показано на рисунке. В воскресные дни горожане совершают прогулки по городу. Можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и притом вернуться в начальную точку пути?

                                                                     С                                     g

                             с                                 d                        

                                                                                                              D

                                                   A               e

                                                                                                       f

                          a                                  b

B

Задача. Город имеет в плане вид прямоугольника, разбитого на клетки: n улиц параллельны друг другу, m других пересекаются под прямым углом. На улицах города, но не на перекрестках, стоят милиционеры. Каждый милиционер сообщает номер проходящего мимо него автомобиля, направление его движения и время, когда он проехал. Какое наименьшее число милиционеров нужно расставить на улицах, чтобы по их показаниям можно было однозначно восстановить путь любого автомобиля, едущего по замкнутому маршруту (маршрут не проходит по одному и тому же участку улицы дважды)?

Задача. В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может быть в этом государстве?

Задача. Имеется k ящиков, в некоторых из них еще k ящиков и т.д. Сколько всего ящиков, если заполненных m?

Задача. Составьте множество двузначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3. Сколько таких чисел?

Задача. Составьте множество трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 2 и 5. Сколько таких чисел?

Задача. Составьте множество четырехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 7 и 9. Сколько таких чисел?

Задача. В футбольном турнире участвуют 29 команд. Докажите, что в любой момент найдется команда сыгравшая четное число матчей (быть может ни одного).

Задача. Корзины полные яблок. В пяти корзинах лежат яблоки пяти разных сортов. Яблоки первого сорта лежат в корзинах Г и Д; яблоки второго сорта – в корзинах А, Б и Г; в корзинах А, Б, В  имеются яблоки пятого сорта, в корзине В имеются к тому же яблоки четвертого сорта, а в корзине Д – третьего. Требуется дать каждой корзине номер, но так, чтобы в корзине № 1 были яблоки первого сорта (хотя бы одно), в корзине № 2 – второго и т.д.

Задача. Каждый из четырех соседей соединил свой дом с тремя другими дорожками, которые пересекались лишь около домов. Докажите, что дом пятого соседа со всеми остальными домами соединить непересекающимися дорожками невозможно, т.е. он вынужден построить мост или рыть подземный ход.

Задача.  На вечере собралось несколько юношей и девушек. При этом оказалось, что если выбрать любую группу юношей, то число девушек, знакомых по крайне мере с одним из юношей этой группы, будет не меньше числа юношей в группе. Доказать, что все юноши одновременно смогут танцевать каждый в паре со знакомой девушкой.

Задача. Имеется 5 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 частей. некоторые из получившихся снова разрезали на 5 частей и т.д. Проделав так некоторое число раз. Подсчитали число получившихся листков. Докажите, что в результате не мог получиться 71 лист.

Задача. В некотором городе для любых трех перекрестков А, В, С есть путь, ведущий из А в В и не проходящий через С. Докажите, что с любого перекрестка, на любой другой ведут по крайне мере два непересекающихся пути (перекресток – место где сходятся по крайне мере две улицы; в городе не меньше двух перекрестков).

Сетевая задача. По следующим данным построить сеть, определить временные характеристики работ и событий, критический путь и его длину. При выписывании данных задачи подставьте вместо n номер своего варианта, и полученное число округлите до целого.

работа

5-7

5-8

6-7

<\/a>") //-->