Тема 6. применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах

     Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного переменного.

     На основании положений рассмотренных ранее можно сформулировать утверждения, позволяющие находить решения неопределенных  уравнений.

     Теорема 6.1.   Если , то существуют такие целые числа х и  у, что имеет место равенство .

     Замечание.  Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД двух чисел через эти числа.

     Теорема 6.2.  Если в уравнении ,  , то уравнение имеет по крайней мере одно решение.

     Теорема 6.3.  Если в уравнении ,   и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

     Теорема 6.4.    Если в уравнении   ,      и  , то оно равносильно уравнению   , в котором .

     Теорема 6.5.   Если в уравнении  , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х0, у0 – целое решение уравнения  ,  - любое целое число.

     Теоремы 5.1.-5.5. позволяют сформулировать следующий алгоритм решения в целых числах уравнения , где :

найти целое решение уравнения   путем представления 1 как линейной комбинации чисел  и ;

составить общую формулу целых решений данного уравнения  

где х0, у0 – целое решение уравнения  ,  - любое целое число.

Задания для самостоятельного решения

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решить уравнения в целых числах:

а) 27х – 40y = 1;                 б) 54x + 37y = 7;               в) 107x + 84y =1;

г) 13x – 15y =7;                   д) 81x + 52y = 5;              e) 24x – 56y = 72.

На какое наименьшее число надо умножить 7, чтобы произведение оканчивалось на 123.

Найти все четырёхзначные простые числа, начинающиеся и оканчивающиеся цифрой 1.

Анатолий Егорович Поличка