Тема 2. простые и составные числа. основная теорема арифметики. алгоритм разложения числа на простые множителиВ соответствии с замечанием 1.9. будем рассматривать целые положительные числа. Определение 2.1. Целое положительное число р> 1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р. Определение 2.1. Целое положительное число m > 1 называется составным, если оно имеет, по крайней мере, один положительный делитель отличный от 1 и m. Примеры: 3 имеет ровно 2 делителя: 1 и 3, по опр. 2.1. оно простое. 4 имеет своими делителями 1, 4 и 2, по опр. 2.2. число 4 – составное. Замечание 2.3. В соответствии с опр. 2.1. и опр. 2.2. все множество целых положительных чисел можно разбить на три подмножества: простые числа составные числа 1. Замечание 2.4. Существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные числа являются составными. Перечислим свойства простых чисел. Теорема 2.5. Если р и р1 – простые числа и рр1, то р не делится на р1 . Теорема 2.6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р. Теорема 2.7. Для любого целого положительного числа n>1 наименьший, отличный от единицы положительный делитель всегда представляет собой простое число. Теорема 2.8.(основная теорема арифметики) Всякое целое положительное число, отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и при том единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей). Таким образом, если m – целое положительное число, а р1, р2, …рк- простые, то m =. Если среди чисел р1, р2, …, рк есть одинаковые, то m =- каноническое представление целого числа. Из доказательства теоремы следует алгоритм разложения любого целого положительного числа в произведение простых сомножителей: Пусть m – целое положительное число, отличное от единицы. Если это число четное, то разделим его на первое простое число 2. Если полученное частое остаётся четным числом, поделим и его на 2, и т.д., пока в частном не получится число нечетное. Если число m – нечетное, то если это, возможно, делим его на следующее простое число 3. Частое от этого деления делим на три, если это возможно, если нет то Делим полученное частное на следующее простое число и т.д., пока в частном не получится простое число. Задания для самостоятельного решения Будет ли верна теорема 2.6. если число р будет составным? Привести контр пример. Найдите каноническое представление числа 60984. Докажите, что р2 – 1 кратно 24, если р – простое число, большее 3. Найти такие значения А, при которых все три числа А, А+ 4, А+14 будут простыми. Найти все простые числа р такие, что р + 10 и р + 14 тоже являются простыми числами. Доказать, что а4 + 4 есть составное число при любом натуральном а, больше 1. |
| Оглавление| |