Геометрия окружностей - Учебное пособие (Мендель В.В.)

Тема 2. простые и составные числа. основная теорема арифметики. алгоритм разложения числа на простые множители

     В соответствии с замечанием 1.9. будем рассматривать целые положительные числа.

     Определение 2.1. Целое положительное число р> 1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р.

     Определение 2.1. Целое положительное число m > 1 называется составным, если оно имеет, по крайней мере, один положительный делитель отличный от 1 и m.

     Примеры:

3 имеет ровно 2 делителя: 1 и 3, по опр. 2.1. оно простое.

4 имеет своими делителями 1, 4 и 2, по опр. 2.2. число 4 – составное.

Замечание 2.3. В соответствии с опр. 2.1. и опр. 2.2. все

множество целых положительных чисел можно разбить на три подмножества:

простые числа

составные числа

1.

     Замечание 2.4. Существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные числа являются составными.

     Перечислим свойства простых чисел.

Теорема 2.5. Если р и р1 – простые числа и рр1, то р не делится    на р1 .

Теорема 2.6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р.

Теорема 2.7.  Для любого целого положительного числа n>1 наименьший, отличный от единицы положительный делитель всегда представляет собой простое число.

Теорема 2.8.(основная теорема арифметики)

Всякое целое положительное число, отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и при том единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).

     Таким образом, если  m – целое положительное число, а р1, р2, …рк- простые, то

                              m =.

Если среди чисел р1, р2, …, рк есть одинаковые, то

                              m =- каноническое представление целого числа.

                Из доказательства теоремы следует алгоритм разложения любого целого положительного числа в произведение простых сомножителей:

                Пусть m – целое положительное число, отличное от единицы.

Если это число четное, то разделим его  на первое простое число 2. Если полученное частое остаётся четным числом, поделим и его на 2, и т.д., пока в частном не получится число нечетное.

Если  число m – нечетное, то если это, возможно, делим его на следующее простое число 3. Частое от этого деления делим на три, если это возможно, если нет то

Делим полученное частное на следующее простое число и т.д., пока в частном не получится простое число.

Задания для самостоятельного решения

Будет ли верна теорема 2.6. если число р будет составным? Привести контр пример.

Найдите каноническое представление числа 60984.

Докажите, что р2 – 1 кратно 24, если р – простое число, большее 3.

Найти такие значения А, при которых все три числа А, А+ 4, А+14 будут простыми.

Найти все простые числа р такие, что р + 10 и р + 14 тоже являются простыми числами.

Доказать, что а4 + 4 есть составное число при любом натуральном а, больше 1.