Тема 5. применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числахНеопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного переменного. На основании положений рассмотренных ранее можно сформулировать утверждения, позволяющие находить решения неопределенных уравнений. Теорема 5.1. Если , то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство . Замечание. Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД двух чисел через эти числа. Теорема 5.2. Если в уравнении , , то уравнение имеет по крайней мере одно решение. Теорема 5.3. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет. Теорема 5.4. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором . Теорема 5.5. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:
где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.
Теоремы 5.1.-5.5. позволяют сформулировать следующий алгоритм решения в целых числах уравнения , где : найти целое решение уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ; составить общую формулу целых решений данного уравнения где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число. |
| Оглавление| |