2.2 види потоків платежів та їх основні параметри

Будь-яка фінансово-кредитна операція, інвестиційний проект або комерційна угода передбачають наявність ряду умов їх виконання, з якими погоджуються сторони, що беруть участь. До цих умов відносять такі кількісні дані: грошові суми, часові параметри, відсоткові ставки тощо. Кожна з перелічених характеристик може бути подана найрізноманітнішим чином. Наприклад, платежі можуть бути одноразовими або в розстрочку, постійними або змінними у часі. Існує близько десяти видів відсоткових ставок і методів нарахування відсотків. Час встановлюється у вигляді фіксованих термінів платежів, інтервалів надходження доходів, моментів погашення заборгованості та ін. У рамках однієї операції перелічені показники утворюють певну взаємопов'язану систему, підпорядковану відповідній логіці. У зв'язку з множинністю параметрів такої системи кінцеві конкретні результати часто неочевидні. Більш того, зміна значення навіть однієї величини в системі більшою або меншою мірою відіб'ється на результатах відповідної операції. Це зумовлює той факт, що подібні системи можуть і повинні бути об'єктом застосування кількісного фінансово-управлінського аналізу.

Кількісний фінансовий аналіз застосовується як в умовах визначеності, так і невизначеності. У першому випадку передбачається, що дані для аналізу завчасно відомі й фіксовані. Наприклад, при укладенні звичайного договору комерційної концесії можуть бути однозначно узгоджені всі параметри. Аналіз помітно ускладнюється, коли доводиться враховувати невизначеність – динаміку грошового ринку (рівень відсоткової ставки, коливання валютного курсу), поведінку контрагента тощо.

У загальному вигляді під відсотковими грошима (interest) розуміють абсолютну величину доходу від надання коштів у борг у будь-якій формі: надання позики, продаж товару в кредит, розміщення грошей на депозитному рахунку, облік векселя, придбання цінних паперів, операції лізингу, факторингу, форфейтингу, концесії тощо. Якого б вигляду або походження не набирали б відсотки, це завжди конкретний прояв такої економічної категорії як позиковий відсоток.

Рента описується такими параметрами: член ренти (rent) – розмір окремого платежу, період ренти (rent period, payment period) – часовий інтервал між двома послідовними платежами, строк ренти (term) – час від початку першого періоду ренти до кінця останнього, відсоткова ставка.

За кількістю виплат членів ренти протягом року ренти поділяються на річні (виплата раз на рік) та p-строкові (p – кількість виплат на рік). При аналізі виробничих інвестицій іноді застосовують ренти з періодами, що перевищують рік. За кількістю разів нарахування відсотків протягом року розрізняють: ренти зі щорічним нарахуванням, з нарахуванням m разів на рік, з неперервним нарахуванням. Моменти нарахування відсотків необов'язково збігаються з моментами виплат членів ренти. Однак розрахунки помітно спрощуються, якщо два зазначених моменти збігаються.

За ймовірністю виплат ренти поділяються на безспірні (certain) та умовні (contingent). Безспірні ренти підлягають безумовній сплаті; число членів такої ренти завчасно відоме. В свою чергу, сплата умовної ренти залежить від настання певного випадку; число її членів завчасно невідоме. За кількістю членів розрізняють ренти з кінцевим числом членів, або обмежені ренти (їх термін завчасно обумовлено), та безкінечні, або вічні ренти (perpetuity). З вічною рентою стикаються на практиці в низці довгострокових операцій, коли передбачається, що період функціонування аналізованої системи або строк операції вельми тривалий і не узгоджені конкретними датами. Як вічну ренту іноді логічно розглядати й сплату роялті за більшістю концесійних угод і договорів типу ВОТ, з огляду на їх довгостроковий характер.

За співвідношенням початку строку ренти і деякого моменту часу, що попереджує початок ренти (наприклад, початок дії контракту або дата його укладення), ренти поділяють на негайні та відстрочені (deferred). Приклад відстроченої ренти: погашення боргу в розстрочку після пільгового періоду. Дуже важливою є відмінність за моментом сплати платежів у межах періоду ренти. Якщо платежі здійснюються наприкінці цих періодів, то відповідні ренти називають звичайними або постнумерандо; якщо платежі проводяться на початку періодів, їх відповідно називають пренумерандо. Іноді контракти передбачають платежі і надходження коштів у середині періодів.

Для нарахування відсотків можна застосовувати постійну базу нарахування та послідовно змінювану (прості і складні відсоткові ставки). Важливим є вибір принципу розрахунку відсоткових коштів: від сучасного до майбутнього і, навпаки, від майбутнього до сучасного (ставки нарощування і дисконтні ставки). У фінансовій літературі відсотки, одержані за ставкою нарощування, називають декурсивними, за обліковою ставкою – антисипативними. Ставки можна також розділити на фіксовані та плаваючі (floating).

У практичних розрахунках застосовують так звані дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за фіксовані інтервали часу (рік, півріччя і т.п.). Інакше кажучи, час розглядається як дискретна змінна. В деяких випадках – у доказах і аналітичних фінансових розрахунках, пов'язаних з процесами, які можна розглядати як неперервні, у загальних теоретичних розробках і значно рідше на практиці – виникає необхідність у застосуванні неперервних відсотків (continuous interest), коли нарощування або дисконтування проводиться безперервно, за безкінечно малі проміжки часу.

У переважній кількості практичних випадків аналіз потоку платежів передбачає розрахунок однієї з двох узагальнюючих характеристик: нарощеної суми або сучасної вартості потоку. Нарощена сума (amount of cash flows) – сума всіх членів потоку платежів із нарахованими на них до кінця строку відсотками. Під сучасною вартістю потоку платежів (present value of cash flows) розуміють суму всіх його членів, дисконтованих на початок строку ренти або деякий попередній момент часу. (У старій російській фінансовій літературі аналогічний за змістом показник називали справжньою ціною платежів.)

Нарощена сума може становити собою загальну суму накопленої заборгованості до кінця терміну, кінцевий об'єм інвестицій, накоплений грошовий резерв і т. ін. У свою чергу, сучасна вартість характеризує зведені до початку здійснення проекту інвестиційні витрати, сумарний капіталізований дохід або чистий зведений прибуток від реалізації проекту тощо.

Як було показано вище, фінансова рента описується набором основних параметрів: R – член ренти, n – строк дії угоди, і – відсоткова ставка, та додатковими параметрами p, m. Однак, при розробленні контрактів і умов операції можуть виникнути випадки, коли задається одна з двох узагальнюючих характеристик: S – нарощена сума грошових потоків (сума в кінці строку), або A – сучасна вартість майбутніх потоків коштів, і необхідно розрахувати значення невідомого параметра.

Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, є ряд платежів Rt, які сплачуються через час nt після деякого початкового моменту. Загальний строк виплат – п років. Необхідно визначити нарощену на кінець строку потоку платежів суму. Якщо відсотки нараховуються раз на рік за складною ставкою і, то, позначивши величину, яку шукаємо, через S, одержимо:

.

Сучасну вартість такого потоку також знаходимо прямим рахунком як суму дисконтованих платежів:

 ,

де – дисконтний множник за ставкою і.

Також поширеною задачею є визначення розміру члена ренти. Якщо рента річна, постнумерандо, з щорічним нарахуванням відсотків, то

,

де – коефіцієнт нарощування ренти, який описується формулою

.

Нехай тепер умовами договору задано сучасну вартість ренти. Якщо рента річна (m=1), то випливає, що

,

де – коефіцієнт зведення ренти, який можна описати як

.

Дещо іншого вигляду беруть вказані залежності, якщо розглядати «вічну ренту», під якою розуміють ряд платежів, кількість яких не обмежено – теоретично вона сплачується протягом нескінченної кількості років. На практиці іноді стикаються з випадками, коли є сенс удатися до такої абстракції, наприклад, якщо припущено, що строк потоку платежів дуже великий і конкретно не домовлений. Очевидно, що нарощена вартість вічної ренти дорівнює нескінченно великій величині. На перший погляд видається нонсенсом і визначення сучасної вартості такої ренти. Однак сучасна вартість вічної ренти є кінцевою величиною.

При n→∞ лімітом для коефіцієнта зведення є величина

.

Звідси для вічної ренти сучасна вартість залежить тільки від розміру члена ренти і відсоткової ставки. З наведеної вище формули випливає:

.

При розробленні умов контракту іноді виникає необхідність у визначенні строку ренти і відповідно кількості членів ренти. Визначено такі формули для розрахунку строку постійних рент

Таблиця 1 – Порядок розрахунку термінів постійних рент постнумерандо

В аналізі виробничих фінансових проектів іноді трапляються ренти, члени яких сплачуються з інтервалами, що перевищують рік. Визначимо нарощену суму і сучасну вартість таких рент.

Нехай r – часовий інтервал між двома членами ренти, відсотки нараховуються раз на рік. У цьому випадку сучасна вартість першого платежу становитиме на початок ренти величину Tvr, другого – Tv2r, останнього – Tvп, де Т – величина члена ренти, п – строк ренти, кратний r. Послідовність дисконтованих платежів являє собою геометричну прогресію з першим членом Tvr, знаменником vr і кількістю членів п/р. Сума членів такої прогресії за умови, що Т = 1, дорівнює:

.

Звісно, зазначене у формулі співвідношення коефіцієнтів зведення і нарощення можна використовувати у випадках, коли r – ціла кількість років.