4.2. оптимизация формы изделия

ЗАДАНИЕ

МЕТОД ВЫПОЛНЕНИЯ

Для того, чтобы определить форму изделия, надо выяснить, как она влияет на эффективность бизнес-процесса при заданных характеристиках исходного материала. Рассмотрим варианты решения этой задачи для БП «Создание и продажа изделия для хранения жидкости» на числовых примерах.             Вариант 1. Если из квадратного листа с длиной основания а=3м сделать емкость кубической формы, при которой x = h = 1м, то для этого надо  вырезать по углам квадратные куски шириной 1 м. Объем такого изделия будет равен V = x2*h = 1 м3,  а отходы металла S = 4 м2.

            Вариант 2. Если попытаться для уменьшения отходов металла сделать вырезы шириной 0.1x, т.е. h = 0.1x м, то получим, что    V = 0,1x3 м3. Величину переменной x найдем из равенства  x + 2×0,1x = 3м. Из него следует, что x = 3/1,2 = 2,5м, а h = 0,25м. В результате получим, что

V = 0,1(2,5)3 = 1,56 м3, а отходы составят S = 4×0,25 = 1м2.

Отметим, что в этом варианте формы изделия его объем увеличился более чем в полтора раза, что позволит продавать изделие по большей цене.             Вариант 3. Продолжая уменьшать отходы, примем, что h = 0,05 м. Тогда найдем, что x = 3/1,1=2,73 м, h = 0,135м. При такой форме изделия его объем  V = 1,54 м3, а отходы металла S = 0,56 м2.

Очевидно, что дальнейшее уменьшение отходов не только не увеличило объем изделия, но  даже и уменьшило его.

Если бы критерием эффективности процесса была минимизация потерь металла, то лучшим из рассмотренных вариантов был бы вариант 3. А с точки зрения максимизации объема емкости и, соответственно ему, цены продукта – лучшим является вариант 2. Но при этом нет уверенности, что это самый лучший вариант, так как количество вариантов может быть достаточно большим.

Как найти оптимальный вариант по критерию максимума объема изделия, не перебирая все возможные варианты.  Решение подобной задачи возможно только с использованием математических теорий, моделей и методов, гарантирующих оптимальность найденного решения поставленной задачи без перебора всех вариантов.

Формальная постановка задачи оптимизации формы изделия:             Найти длину x квадратного основания изделия, при которой выполняются ограничения: 

             1) x + 2h = a,   2) x>0,                                                 (4.1)

где а – длина стороны квадратного листа, и удовлетворяется критерий оптимальности  V=max.                  Целевая функция в данной задаче следующая:

Надо найти          max V = x2h.                                                (4.2)

Из ограничения 1 следует, что высота изделия h = (a-x)/2. Подставив это выражение в целевую функцию, получим непрерывную функцию от одного переменного:  

                               V = ax2/2 – x3/2.                                          (4.3)

Для решения задачи в данной постановке следует использовать математический анализ. В нем для непрерывных функций доказан ряд теорем и разработаны методы, позволяющие находить значение переменной, при которой функция имеет экстремальное значение.

Условием экстремума является равенство нулю первой производной от функции. Отсюда следует порядок решения задачи: надо взять первую производную, приравнять полученное выражение нулю и решить уравнение относительно x.

Математический анализ указывает, как взять производную от составной степенной функции. Производная (xn)′  от степенной функции xn определяется следующим образом:

при n>0  (xn)′  = n*xn-1,                                                       (4.4)

при n <0  (x -n)′  = -n*x -n-1  = -n/xn+1. 

Тогда для анализируемой составной степенной функции получим следующее уравнение для первой производной:

                       V′ = (аx2/2)′  – (x3/2)′ = ax – 3x2/2 = 0.              (4.5)

Так как  x  не может быть равным нулю (это бы противоречило второму ограничению), то из этого уравнения следует, что   x = 2a/3.

В качестве независимой переменной можно было бы выбрать и величину h. Но это усложнило бы решение задачи.

 Теперь надо узнать тип экстремального значения. Он может быть либо минимумом, либо максимумом. Для этого надо определить знак значения второй производной в точке экстремума. Функция имеет максимальное значение, если это значение отрицательное.  Для запоминания этого способа в математическом анализе было правило, так называемого, «ковшика»: если он стоит так, что из него не выливается вода (его профиль при этом напоминает функцию с минимумом), то это соответствует знаку «+». Если он перевернут, то его профиль похож на функцию с максимумом. При таком положении ковшика вода из него выливается и ему ставится в соответствие знак минус.

Выражение для второй производной будет следующим:                                               V″= a – 3x.                                            (4.6)

При x = 2a/3 получим, что V″ = -а, т.е. является отрицательным. Следовательно, в найденной точке экстремума функция V = f(x)  принимает максимальное значение. Таким образом, решение  x = 2a/3 является оптимальным по заданному критерию.

В данном случае вывод о том, что функция V = f(x) имеет максимальное значение для х в интервале [0,3], можно было сделать и простым логическим заключением: на границах интервала V = 0, а в промежутке между ними V > 0.

 В точке экстремума объем изделия будет следующим:

      V  =(2a/3)2×(a-2a/3)2 = (4a2/9) ×a/6 = 0,074a3 м3.          (4.7)

При а = 3м получим, что V=1,998 м3, а отходы   S = 2 м2.

Таким образом, в оптимальном варианте по критерию максимума V изделие будет иметь объем в 2 раза больший, чем в варианте 1 и в 1,25 раза, чем в вариантах 2 и 3.

Системный анализ решения. Итак, была решена задача оптимизации конструкции изделия. Ее результатом стало определение размеров изделия, при которых оно имеет максимально возможный объем. Это позволит соответственно увеличить цену изделия и таким образом увеличит доходы предприятия без дополнительных производственных затрат. Потребуются только затраты на решение задачи, например, на приобретение программного обеспечения.

За счет получился такой результат? За счет лучшего использования материала? Не только, так как самое лучшее использование материала будет при минимальной высоте изделия. Здесь найдена оптимальная форма изделия, т.е. соотношение длины основания к высоте   x / h, равное 4.

Для решения задачи оптимизации формы изделия потребовалось привлечь геометрию и математический анализ. А в реальной ситуации потребовалось бы еще использовать вычислительную математику и информатику для выбора или разработки необходимого информационно-программного обеспечения решения задачи на компьютере.

Сама задача возникла в рамках производственной системы. Ее границами  на входе являются имеющиеся материальные ресурсы, трудовые ресурсы, оборудование, производственная инфраструктура, а на выходе – готовое изделие, удовлетворяющее техническим условиям и требованиям к качеству от заказчика.

Если изделие готовится для продажи, то конечным бизнес-процессом в системе будет продажа изделий. Его выходом будет выручка от продажи. В этом случае определение адекватного критерия выбора оптимального решения осуществляется в рамках экономической системы, в которой формируются цены на продукцию, условия продажи и т.д.             Проблемы принятия решений возникают в рамках производственных и экономических систем. А для выработки решений используются создаваемые информационные системы, в которых, в частности, могут реализовываться математические методы. При этом можно выделить следующие этапы решения задачи:

          Этап 1. Содержательная постановка задачи.                     Этап 2. Математическая постановка задачи.                     Этап 3. Выбор метода решения задачи.                     Этап 4. Анализ результатов.

В заключение следует отметить, что был оптимизирован продукт бизнес-процесса, а не процесс его изготовления. При оптимизации же процесса производства уменьшаются затраты на его осуществление, например, за счет уменьшения количества передач изделия между рабочими местами и, соответственно этому, ускорения процесса, а также за счет уменьшения общей величины вынужденных простоев из-за несогласованности работ во времени.