11.7. трикроковий метод найменших квадратів (3мнк)Розглянуті вище два методи — непрямий і двокроковий методи найменших квадратів застосовуються для оцінки параметрів кожного окремого рівняння моделі. Трикроковий метод найменших квадратів призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі. Зельнер і Гейл [1] запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий. Розглянемо загальну лінійну модель, яка містить r взаємозв’язаних ендогенних і k екзогенних змінних. Запишемо s-те рівняння цієї моделі у вигляді (11.45) де — вектор значень ендогенної змінної s-го рівняння розміром n × 1; — матриця поточних ендогенних змінних s-го рівняння, розміром n × r; — матриця екзогенних змінних s-го рівняння, розміром n × ; і — вектори параметрів; — вектор залишків. Об’єднавши дві матриці і в матрицю , перепишемо (11.45) у вигляді: (11.46) де і . (11.47) Помножимо рівняння (11.46) зліва на , де X — матриця всіх екзогенних змінних моделі, розміром n × k: (11.48) Для цієї моделі коваріаційна матриця залишків має вигляд (11.49) де — стала дисперсія залишків s-го рівняння, а — дисперсія залишків системи рівнянь моделі. З урахуванням (11.49) оцінка параметрів моделі (11.48) може бути виконана узагальненим методом найменших квадратів. . (11.50) Запишемо систему рівнянь (11.46) у вигляді такої матричної форми: . (11.51) Матриця коваріацій для вектора залишків, який входить в рівняння (11.51) буде мати вигляд: . (11.52) Нехай елементи матриці створюють матрицю S, тоді і . Метод Ейткена дає наближені оцінки параметрів системи (11.51). Але для того щоб одержати ці оцінки, необхідно знати матрицю V, яка залежить від невідомої матриці S. Зельнер і Гейл [1] запропонували обчислювати елементи матриці S на основі залишків, здобутих за допомогою двокрокового методу найменших квадратів. Тобто, двокроковий метод застосовується при оцінюванні параметрів за формулою (11.50) для кожного структурного рівняння. Після чого знайдені оцінки підставляються в (11.46). Обчислюються значення , з допомогою яких можна знайти . На основі визначаються дисперсії залишків для кожного рівняння , які є наближеною оцінкою . Звідси оператор оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів матиме вигляд: (11.53) Оцінку асимптотичної матриці коваріацій параметрів дає обернена матриця, яка міститься в правій частині виразу (11.53), тобто (11.54) Трикроковий метод найменших квадратів забезпечує кращу порівняно з двокроковим методом асимптотичну ефективність оцінок лише в тому разі, коли матриця не є діагональною, тобто коли залишки, які входять в різні рівняння моделі, корелюють між собою. Щоб застосувати трикроковий метод найменших кввадратів на практиці необхідне виконання таких вимог: 1) усі тотожності, які входять в систему рівнянь, треба виключити, приступаючи до знаходження оцінок параметрів; 2) кожне неідентифіковане рівняння також треба виключити з системи; 3) якщо система рівнянь, що залишилась, має точно ідентифіковані і надідентифіковані рівняння, то трикроковий метод оцінки доцільно застосовувати до кожної з цих груп; 4) для групи надідентифікованих рівнянь оцінки параметрів знаходяться на основі співвідношення (11.53), взявши значення r таким, що дорівнює числу надідентифікованих рівнянь; 5) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то трикроковий метод перетворюється на двокроковий; 6) якщо матриця коваріацій для структурних залишків блочно-діагональна, то вся процедура оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів може бути застосована окремо до кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку. |
| Оглавление| |