Економетрія - Навчальний посібник (Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П.)

11.7. трикроковий метод найменших квадратів (3мнк)

Розглянуті вище два методи — непрямий і двокроковий методи найменших квадратів застосовуються для оцінки параметрів кожного окремого рівняння моделі. Трикроковий метод найменших квадратів призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.

Зельнер і Гейл [1] запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий.

Розглянемо загальну лінійну модель, яка містить r взаємозв’язаних ендогенних і k екзогенних змінних. Запишемо s-те рівняння цієї моделі у вигляді

                                (11.45)

де  — вектор значень ендогенної змінної s-го рівняння розміром n × 1;

 — матриця поточних ендогенних змінних s-го рівняння, розміром n × r;

 — матриця екзогенних змінних s-го рівняння, розміром n × ;

 і  — вектори параметрів;

 — вектор залишків.

Об’єднавши дві матриці  і  в матрицю , перепишемо (11.45) у вигляді:

                                                (11.46)

де                            і               .                                  (11.47)

Помножимо рівняння (11.46) зліва на , де X — матриця всіх екзогенних змінних моделі, розміром n × k:

                                (11.48)

Для цієї моделі коваріаційна матриця залишків має вигляд

                                                (11.49)

де — стала дисперсія залишків s-го рівняння, а  — дисперсія залишків системи рівнянь моделі. З урахуванням (11.49) оцінка параметрів моделі (11.48) може бути виконана узагальненим методом найменших квадратів.

.                (11.50)

Запишемо систему рівнянь (11.46) у вигляді такої матричної форми:

.                      (11.51)

Матриця коваріацій для вектора залишків, який входить в рівняння (11.51) буде мати вигляд:

.                               (11.52)

Нехай елементи матриці  створюють матрицю S, тоді  і . Метод Ейткена дає наближені оцінки параметрів системи (11.51). Але для того щоб одержати ці оцінки, необхідно знати матрицю V, яка залежить від невідомої матриці S.

Зельнер і Гейл [1] запропонували обчислювати елементи матриці S на основі залишків, здобутих за допомогою двокрокового методу найменших квадратів. Тобто, двокроковий метод застосовується при оцінюванні параметрів  за формулою (11.50) для кожного структурного рівняння. Після чого знайдені оцінки  підставляються в (11.46). Обчислюються значення , з допомогою яких можна знайти  .

На основі  визначаються дисперсії залишків для кожного рівняння , які є наближеною оцінкою .

Звідси оператор оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів матиме вигляд:

                                (11.53)

Оцінку асимптотичної матриці коваріацій параметрів дає обернена матриця, яка міститься в правій частині виразу (11.53), тобто

  (11.54)

Трикроковий метод найменших квадратів забезпечує кращу порівняно з двокроковим методом асимптотичну ефективність оцінок лише в тому разі, коли матриця  не є діагональною, тобто коли залишки, які входять в різні рівняння моделі, корелюють між собою.

Щоб застосувати трикроковий метод найменших кввадратів на практиці необхідне виконання таких вимог:

1) усі тотожності, які входять в систему рівнянь, треба виключити, приступаючи до знаходження оцінок параметрів;

2) кожне неідентифіковане рівняння також треба виключити з системи;

3) якщо система рівнянь, що залишилась, має точно ідентифіковані і надідентифіковані рівняння, то трикроковий метод оцінки доцільно застосовувати до кожної з цих груп;

4) для групи надідентифікованих рівнянь оцінки параметрів знаходяться на основі співвідношення (11.53), взявши значення r таким, що дорівнює числу надідентифікованих рівнянь;

5) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то трикроковий метод перетворюється на двокроковий;

6) якщо матриця коваріацій  для структурних залишків блочно-діагональна, то вся процедура оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів може бути застосована окремо до кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.