10.4. методи оцінювання

Коли схема формування вагових коефіцієнтів задовольняє припущення Койка, модель часткового коригування або модель адаптивних сподівань, то у правій частині економетричної моделі виникає лагове значення залежної змінної Y. Це зумовлює певні проблеми при оцінюванні параметрів такої моделі. Розглянемо ці проблеми.

Нехай економетрична модель має вигляд

                                (10.20)

Як ми вже переконалися, методи оцінювання параметрів моделі залежать від гіпотез, які будуть прийняті щодо залишків .

Гіпотеза 1. Залишки є випадковими величинами і розподіляються нормально, тобто .

Гіпотеза 2. Залишки виражені через параметр , тобто

.

а) ;

б)   .

Гіпотеза 3. Залишки   .

Перша гіпотеза найпростіша, а тому єдина складність в оцінюванні параметрів моделі пов’язується з наявністю в правій частині лагової змінної .

Друга гіпотеза відповідає схемі Койка і моделі адаптивних сподівань. При цьому розглядаються два варіанти:

а) залишки  незалежні;

б) залишки  описуються авторегресійною моделлю першого порядку.

Третя гіпотеза не пов’язується ні зі схемою Койка, ні з моделлю адаптивних сподівань. Згідно з цією гіпотезою величина залишків   описується авторегресійною схемою першого порядку (найпростіший випадок).

Розглянемо особливості оцінки параметрів моделі при різних гіпотезах відносно залишків.

Гіпотеза 1. Оскільки залишки не корельовані між собою, то оцінка параметрів може бути виконана за методом 1МНК. Але цей метод дасть зміщення оцінки, бо залишки не можна вважати незалежними від лагової змінної . Оскільки  то і  для  і .

Щоб знайти величину зміщення розглянемо таку модель:

де  і послідовні значення  некорельовані.

Для такої моделі оцінка параметрів a на основі 1МНК дає

В економетричній літературі [1] доведено, що в такому разі зміщення параметра

                                                (10.21)

Альтернативною оцінкою параметра a може слугувати коефіцієнт автокореляції першого порядку для Y, тобто

                         (10.22)

Зміщення тоді визначатиметься так:

                                                (10.23)

тобто обидві оцінки мають тенденцію до завищення параметра a, причому рівень зміщення параметра r більший, ніж параметра .

За допомогою методу Монте-Карло було досліджено оцінки параметрів a у моделі  із застосуванням таких прийомів:

а) визначення параметра r;

б) використання параметра r, скоригованого на величину зміщення в (10.23);

в) застосування 1МНК.

При цьому виявилось, що оцінка параметрів a на основі 1МНК має найменшу середньоквадратичну помилку. Звідси, якщо залишки рандомізовані, то найдоцільніше використовувати 1МНК.

Гіпотеза 2а. Якщо залишки в моделях з лаговою змінною  мають вигляд  де  автокорельовані, тобто  то оцінки параметрів моделі 1МНК матимуть зміщення. Так, якщо  то зміщення для  буде

                .               (10.24)

Асимптотичні зміщення оцінки  і r збігається, але має протилежні знаки. Зміщення має і критерій Дарбіна — Уотсона, яке можна записати так:

,                                               (10.25)

тобто асимптотичне зміщення для критерію Дарбіна — Уотсона — це подвоєне зміщення для оцінки параметра .

Коли в економетричній моделі серед пояснювальних змінних є лагове значення залежної змінної, застосування критерію Дарбіна — Уотсона для виявлення серійної кореляції залишків приводить до зміщення його оцінок. Тому Дарбін розробив методи перевірки автокореляції залишків, які можна застосувати і для моделей з лаговими змінними, що побудовані на базі великих сукупностей спостережень (n). Цей критерій визначається так:

,

де  — оцінка параметра в автокореляційній моделі першого порядку:

ut=ut–1+ut ,

var — оцінка вибіркової дисперсії параметра , який знаходиться при лаговій змінній yt –1. Оцінку параметра  можна дістати з такого співвідношення:

.

Для перевірки нульової гіпотези обчислені величини h порівнюються з критичними значеннями (односторонній критерій) нормального розподілу (c2) при вибраному рівні значущості. З формули цього критерію видно, що коли var³1, то його використовувати не можна. Для критерію h виконується така сама перевірка, як і в разі стандартного нормального відхилення, тобто коли при рівні значущості a = 0,05 h > 1,645, то гіпотеза про нульову автокореляцію відхиляється.

Розглянемо особливості оцінки параметрів, коли залишки мають форму для моделі адаптивних сподівань і схеми Койка, тобто , .

Тоді математичне сподівання залишків дорівнюватиме нулю  для всіх t, а дисперсія визначатиметься так:  для всіх t. А це означає, що для оцінювання параметрів моделі в даному разі можна використати узагальнений метод найменших квадратів:

.

Оскільки дисперсія залишків пропорційна до величини 1 + l2, тоді як коваріація для t = ±1 дорівнює –ls2, а для ½t½ ³ 2 дорівнює нулю, то матриця V має вигляд

                        (10.26)

а матриця X містить лагову змінну .

Узявши до уваги, що параметр  при  дорівнює l, дійдемо висновку: коли l відома, модель спрощується і має вигляд

.                                               (10.27)

Тоді матриця X складатиметься лише з двох стовпців, перший з яких утворюється одиницями, а другий — спостереженнями над X. Вектор Y в такому разі складається з перетворених даних . Як бачимо, проблема оцінювання параметрів у цьому випадку зводиться до знаходження параметра l.

Зельнер і Гейсел [1] запропонували вибирати значення параметра з інтервалу: 0 <  < 1. Це означає, що довільно вибирається параметр l, на основі якого формується матриця V з (10.26). Ця матриця в свою чергу дає змогу знайти оцінки параметрів узагальненим методом найменших квадратів. Вибирається те значення параметра l, яке дає змогу мінімізувати суму квадратів залишків , а звідси і стандартну помилку параметрів. Тобто використовується поступовий перебір значень l на певному інтервалі, доки не буде знайдено той параметр, який забезпечує найкращий розв’язок.

Гіпотеза 2б. Згідно з цією гіпотезою залишки мають вигляд:

,;

  .

Зельнер і Гейсел запропонували процедуру пошуку параметрів l і  для цієї моделі.

Запишемо економетричну модель (10.27) у вигляді

.                               (10.28)

Визначимо . Отже,

.

Перепишемо це рівняння так:

,

де .

Оскільки

то

.

Шляхом послідовних підстановок можна записати :

                (10.29)

Якщо l і  відомі, то (10.29) визначає Y як лінійну функцію від трьох невідомих параметрів , і a2 плюс випадкове відхилення. Тоді ці параметри можна відшукати на основі 1МНК. Матриця вихідних даних  матиме вигляд:

З огляду на те, що l і  невідомі, Зельнер і Гейсел запропонували вибирати значення l і  довільно на проміжку 0 < l < 1;–1 <  < 1. Для кожної пари l і  послідовно обчислюються значення  і залишки. У кінці процедури вибираються ті значення l і , які забезпечують мінімальну суму квадратів відхилень.

Як бачимо, процедура оцінювання параметрів при гіпотезах 2а і 2б є досить громіздкою. Тому використовувати її слід лише тоді, коли є впевненість, що залишки мають ту специфікацію, яка визначає особливості прийнятої гіпотези.

Гіпотеза 3. Згідно з цією гіпотезою специфікується модель:

де ,  .

Ця гіпотеза не пов’язується ні зі схемою Койка, ні з моделлю адаптивних сподівань. Ідеться про оцінку параметрів моделі, яка має серед пояснювальних змінних лагове значення залежної змінної і одночасно має автокорельовані залишки.

10.4.1. Метод Ейткена

Якщо  відоме, то можна сформувати матрицю

і оцінити параметри моделі за методом Ейткена:

,

де

Така процедура наближено еквівалентна застосуванню 1МНК до моделі

відносно перетворених даних. У результаті дістаємо обгрунтовані і асимптотично ефективні оцінки параметрів, але через присутність лагового значення залежної змінної в правій частині, вони будуть зміщеними для закінчених вибірок.

Якщо значення параметра  невідоме, то можна скористатись процедурою пошуку, запропонованою для гіпотези 2.

Приклад 10.2. Необхідно побудувати економетричну модель, що характеризує залежність між чистим доходом і обсягом капітальних вкладень в економіку Сирії на основі даних, наведених у табл. 10.3.

Таблиця 10.3

Вказівка. На основі взаємної кореляційної функції встановлено, що лаг капітальних вкладень дорівнює трьом (t = 3), тобто через три роки після інвестування можна одержати найбільший приріст чистого доходу.

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних і специфікація моделі.

Yt — чистий дохід, залежна змінна;

Xt — обсяг капітальних вкладень, пояснювальна змінна.

Економетрична модель має вигляд

Yt = f(Xt);

Yt = a0 + a1Xt–t + ut ;

.

2. Оцінка параметрів моделі.

Залежно від того, яка гіпотеза приймалась відносно залишків, застосовувались різні методи оцінювання параметрів моделі.

Зауважимо, що оскільки лаг t = 3, то вихідні дані були скорочені на три спостереження, причому в часовому ряді чистого доходу було відкинуто перші три спостереження, а в часовому ряді капіталовкладень — три останні.

2.1. Оцінка 1МНК.

Вихідна гіпотеза — залишки неавтокорельовані, нормально розподілені.

Економетрична модель має вигляд

t = 32193,64 + 2,63Xt–3.

Коефіцієнт детермінації за цією моделлю: R2 = 0,84.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 0,92.

Абсолютний рівень прогнозу: 79270.

Помилка прогнозу: 3461,5.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0223.

Значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що на 84 \% варіація чистого доходу визначається варіацією капітальних вкладень. Величина критерію Дарбіна — Уотсона свідчить про наявність додатної автокореляції залишків моделі. Помилка прогнозного рівня чистого доходу згідно з моделлю становить 4,3 \% до абсолютного значення прогнозу. Коефіцієнт невідповідності Тейла близький до нуля, що свідчить про добру апроксимацію чистого доходу на основі моделі, та наявність автокореляції залишків робить оцінки моделі зміщеними і необгрунтованими.

2.2. Оцінювання параметрів за методом Кочрена — Оркатта.

2.2.1. Вихідна гіпотеза — залишки описуються автокореляційною функцією першого порядку: ut = rut–1 + et. Початкове значення r є фіксованим. У такому разі економетрична модель має вигляд

t  = 86865,148 + 0,01Xt–3;

ut = 0,8421ut–1 + et .

Коефіцієнт детермінації: R2 = 0,16.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 1,02.

Абсолютний рівень прогнозу: 85338.

Помилка прогнозу: 9529.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0591.

Кількість ітерацій: 26.

Як свідчать результати аналізу моделі, оцінки параметрів не усунули автокореляції залишків*, коефіцієнт детермінації значно знизився, що пояснюється високим рівнем залишкової дисперсії.

Звідси оцінки параметрів моделі є неефективними, бо також мають велику дисперсію. Апроксимація моделі в цілому погіршилася. Оцінка прогнозу становить близько 10\% до абсолютного рівня, удвічі вищим став коефіцієнт невідповідності Тейла.

2.2.2. Вихідна гіпотеза — залишки описуються автокореляційною функцією другого порядку

ut = r1ut–1 + r2ut–2+nt.

Початкові значення r1 і r2 — стохастичні.

Економетрична модель має вигляд:

t = 31176,20 + 2,78Xt–3;

t = 0,8525ut–1 – 0,7396ut–2 + nt.

Коефіцієнт детермінації: R2 = 0,94.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 2,08.

Абсолютний рівень прогнозу: 85447.

Помилка прогнозу: 9638.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0598.

Кількість ітерацій: 8.

Результати обчислень показують, що друга гіпотеза відносно залишків (вони описуються авторегресійною схемою другого порядку) є для наведеної вихідної інформації реальнішою, ніж перша.

Коефіцієнт детермінації показує, що на 94 \% варіація чистого доходу залежить від варіації капітальних вкладень. Критерій Дарбіна-Уотсона є близьким до двох, а це означає відсутність автокореляції залишків. Якість прогнозу за моделлю на t + 1 періоді характеризується відносною помилкою, яка становить 11,2 \%. Коефіцієнт невідповідності Тейла залишається таким, що дорівнює 0,059, як і для попередньої гіпотези.

Обчислення, які наведені в цьому прикладі для побудови лагової моделі, показують, що оцінки параметрів моделі на основі двох методів — 1МНК і Кочрена — Орката — різні. Більше того, метод Кочрена — Орката для різних вихідних гіпотез відносно залишків моделі дає істотно різні результати. Отже, потрібно уважно ставитись до аналізу залишків моделі і прийнятих гіпотез відносно їх автокореляції, щоб у кожному конкретному випадку для оцінювання параметрів моделі з лаговими змінними застосувати той метод, який найбільше відповідає особливостям вихідної інформації і меті дослідження.

10.4.2. Ітеративний метод

Як альтернативу можна запропонувати ітеративний метод. Розглянемо його.

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:

                .               (10.30)

Щоб безпосередньо оцінити всі чотири параметри мінімізацією суми квадратів відхилень для (10.30), треба розв’язувати нелінійні рівняння відносно параметрів. Якщо розбити параметри на дві множини, внісши до однієї a0, a1, a2, а до іншої — , то можна знайти умовний мінімум суми квадратів залишків для рівняння (10.30) почергово відносно кожної множини параметрів. У такому разі оцінюватимуться лінійні рівняння.

Алгоритм.

Крок 1. Вибирається деяке початкове значення  =, воно підставляється в рівняння (10.30), яке відповідно спрощується.

Крок 2. Мінімізується сума квадратів залишків рівняння (10.30) при фіксованому , в результаті одержуються оцінки , , .

Крок 3. Підставимо значення параметрів  = ,  = ,  =  в модель (10.30) і визначимо параметр , тобто застосовується 1МНК до рівняння , що і дозволяє знайти .

Крок 4. Задавши  в моделі (10.30), знайдемо на основі 1МНК оцінку параметрів  = ,  = ,  = .

Процес продовжується доти, поки не буде досягнуто збіжності оцінок параметрів моделі на двох останніх кроках з вибраною точністю.

10.4.3. Двокрокова процедура

Іноді застосовується альтернативна двокрокова процедура. Розглянемо її алгоритм.

Крок 1. Параметри моделі (10.30) оцінюються 1МНК, оскільки залишки  в ній — гомоскедастичні. При цьому ігноруються нелінійні обмеження, які необхідно б було враховувати при оцінюванні. Як оцінка параметра r використовується

,

тобто береться відношення коефіцієнта при змінній  до коефіцієнта при змінній .

Крок 2. На основі  перетворюється вихідна інформація  і , для якої будується модель (10.30) методом 1МНК.

10.4.4. Інструментальні змінні

Застосовується також процедура, що використовує інструментальні змінні, бо  yt  залежить від  vt,  а  yt  залежить від  yt–1.

Одна зі складнощів моделі — це існування кореляції  з . Але, враховуючи зроблене припущення, коли пояснювальні змінні ймовірніше всього не корелюють з , оцінку параметрів моделі

можна знайти за допомогою 1МНК. Кількість лагових значень X, які включаються в цю модель, можна вибрати залежно від обсягу вибірки і від їх здатності пояснити поводження залежної змінної . Якщо значення змінної X має високу автокореляцію, то навряд чи потрібно брати більше ніж два її лагових значення. Записане вище співвідношення зрушимо на один період назад, щоб дістати  і підставимо вираз  у праву частину моделі (10.20) замість . Після цього застосовується 1МНК для оцінки пара­метрів a. Ці оцінки будуть обгрунтованими, бо всі пояснювальні змінні гра­нично не корельовані із залишками, але вони будуть не ефективними, оскіль­ки при оцінюванні параметрів не була врахована автокореляція залишків.

Алгоритм Уоліса. Уоліс запропонував складніший трикроковий метод оцінювання.

Крок 1. Оцінюються параметри моделі

,

де  використовується як інструментальна змінна для . Таким чином, визначають:

де

 і , .

Крок 2. Для залишків цієї моделі  розраховують коефіцієнт автокореляції першого порядку з урахуванням поправки на зміщення:

де .

Крок 3. За допомогою оцінки, здобутої для r, формують матрицю:

і обчислюють оцінку вектора  узагальненим методом найменших квадратів:

Проведені Уолісом експерименти показали, що його метод оцінювання приводить до значно менших величин зміщення і до меншої суми квадратів залишків, ніж застосування методу Ейткена безпосередньо до моделі (10.20).

Приклад 10.3. Необхідно побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування і доходом сім’ї згідно з даними, що наведені в табл. 10.4.

Таблиця 10.4

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних та специфікація моделі.

Yt — витрати на харчування в період t, залежна змінна;

Xt — дохід в період t, пояснююча змінна;

Yt–1 — витрати на харчування в період t–1, пояснювальна змінна.

Економетрична модель має вигляд:

Yt = a0 + a1Xt + a2Yt–1 + ut ;

Таким чином, витрати на харчування в період t залежать від доходу в період t та від витрат на харчування в період t–1.

2. Оцінка параметрів моделі.

Для оцінювання параметрів цієї моделі застосуємо алгоритм Уолліса, який базується на методах інструментальних змінних і Ейткена.

2.1. Оцінка параметрів моделі виконується на основі методу інструментальних змінних, де Xt–1 використовується як інструментальна змінна для Yt–1. Отже, в операторі оцінювання  матриці  та X запишуться так:

; .

Економетрична модель має вигляд

2.2. Визначимо розрахункові значення , відхилення їх від фактичних ut = Yt –  та дослідимо ці відхилення на наявність автокореляції (табл. 10.5).

Таблиця 10.5

Обчислимо критерій Дарбіна — Уотсона:

.

Для рівня значущості a = 0,05, n = 9, m = 3 критичні значення критерію Дарбіна — Уотсона дорівнюють: DW1 = 0,629; DW2 = 1,699. Звідси DW1 < DW < DW2, а це означає, що при даній сукупності спостережень важко зробити висновок про наявність чи відсутність автокореляції. Але, взявши до уваги, що значення DW дуже близьке до нижньої критичної межі критерію, ми не можемо відхилити гіпотезу про відсутність автокореляції.

Ця величина критерію може свідчити про те, що залишки, які одержані на основі побудованої моделі, мають додатну автокореляцію.

Визначимо коефіцієнт автокореляції:

2.3. Складемо матрицю S–1.

2.4. Застосуємо оператор Ейткена для оцінювання параметрів моделі:

.

Економетрична модель:

Yt = 1,1216 + 0,7944Xt + 0,8733Yt–1.

3. Аналіз економетричної моделі.

Розрахункові значення  за моделлю та відхилення їх від фактичних наведено в табл.10.6.

Таблиця 10.6

3.1. Залишкова дисперсія

.

3.2. Загальна дисперсія

.

3.3. Дисперсії та стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

;

.

;

.

3.4. Коефіцієнти детермінації та кореляції:

;

R = 0,92.

3.5. Критерій Фішера (F-критерій)

;

F(0,05)крит = 4,46; Fфакт > Fтабл .

Наведені щойно характеристики дисперсійного аналізу економетричної моделі свідчать про значущість зв’язку між витратами на харчування в період t і доходом в період t, а також витратами на харчування в період t – 1 (Fкрит < Fфакт). Коефіцієнт детермінації показує, що на 85 \% варіація витрат на харчування визначається варіацією пояснювальних змінних моделі. Коефіцієнт кореляції також показує, що зв’язок є тісним.

Оцінки параметрів моделі мають порівняно високі стандартні помилки, що свідчить про їх неефективність. Це пов’язано з варіацією фактичних спостережень змінної Yt  в часі та кількістю спостережень.

Отже, при оцінці параметрів моделі, яка розглядалась в прикладі 10.3, були порушені дві необхідні умови для застосування методу 1МНК:

1) ;

2) .

Два етапи оцінювання параметрів економетричної моделі на основі алгоритму Уоліса спочатку враховують умову  (застосовується метод інструментальних змінних), а потім  (застосовується метод Ейткена).