9.4. помилки вимірювання змінних

Раніше ми припускали, що змінні вимірюються без помилок, і лише відхилення u — це єдина припустима форма помилок. Останнє було пов’язане з наміром врахувати вплив різних пояснювальних змінних, які не входять до економетричної моделі в явному вигляді.

Проте досить часто при вимірюванні змінних, які належать до економетричної моделі, припускаються помилок. Тоді постає запитання, як наявність помилок змінних може вплинути на оцінку параметрів моделі?

Щоб відповісти на це запитання, розглянемо матрицю незалежних змінних X, елементи якої містять помилки.

Нехай

                                                                (9.22)

де  — матриця розміром n × m справжніх (фактичних) значень, а V — матриця помилок вимірювання.

Тоді модель має вигляд

або

                                                (9.23)

Оцінка параметрів для цієї моделі 1МНК матиме вигляд

,

де  — величина зміщення оцінки.

Обгрунтованість цієї оцінки залежить від того, чи дорівнює нулю

.

Запишемо

За припущення, що залишки u не корелюють гранично зі змінними X (як зі справжніми значеннями, так і з їх помилками), можна стверджувати таке:

.

Проте

Отже, навіть тоді, коли помилки вимірювання змінних X не корелюють зі справжніми значеннями цих змінних і перший доданок у правій частині дорівнює нулю, другий доданок, який характеризує матрицю коваріацій помилок, здебільшого не дорівнює нулю. А це означає, що за наявності помилок вимірювання змінних оцінка параметрів моделей 1МНК є необгрунтованою і асимпотичне зміщення визначається формулою

Наприклад, якщо ми оцінюємо параметри моделі з двома змінними 1МНК, то зміщення

або

                                                (9.24)

де  — дисперсія помилки вимірювання X, а  — дисперсія справжніх значень X, причому припускаємо, що помилки вимірювання не корелюють із цими значеннями X.

Рівняння (9.24) показує, що оцінка справжнього значення параметра моделі занижена. Наприклад, як би ми не збільшували сукупність спостережень, якщо  = 10 \% від , то оцінка параметра  відрізнятиметься від справжнього значення також майже на 10 \%, тобто за наявності помилок вимірювання змінних збільшення сукупності спостережень не компенсує зміщення.

Тому при оцінюванні параметрів економетричної моделі, коли трапляються помилки вимірювання змінних, доцільно застосувати метод інструментальних змінних, який ми розглянули раніше.

Приклад 9.1. побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між зайнятістю населення і виробництвом продукції, скориставшись даними, наведеними в табл. 9.1. Ці дані можуть мати помилки вимірювання.

Таблиця 9.1

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних і специфікація моделі.

Нехай X — виробництво продукції, незалежна (пояснювальна) змінна, Y — зайнятість населення, залежна змінна.

Економетрична модель має вигляд

Yt = a0 + a1Xt + ut ;

.

2. Оцінка параметрів моделі.

Оскільки вихідні дані можуть мати помилки вимірювання, то для оцінювання параметрів моделі застосуємо метод інструментальних змінних.

2.1. Оператор оцінювання за методом інструментальних змінних

,

де Z — матриця інструментальних змінних; X — матриця пояснювальних змінних.

2.2. Визначимо матрицю інструментальних змінних за методом Дарбіна. Для цього впорядкуємо значення вектора X від меншого до більшого і надамо кожному елементу цього вектора порядковий номер. Запишемо ці дані в табл. 9.2.

Таблиця 9.2

.

Оскільки економетрична модель має вільний член, перший рядок матриці інструментальних змінних складається з одиниць, а другий є інстру­ментальною змінною замість вектора пояснювальної змінної X.

Матриця X має вигляд

.

2.3. Знайдемо оцінки параметрів моделі

де і — інструментальна змінна, порядковий номер,

.

Звідси економетрична модель запишеться так:

.

2.4. Підставимо значення змінної Xt в модель і знайдемо розрахункові значення залежної змінної — зайнятості населення (). Ці значення і відхилення їх від фактичних наведено в табл. 9.2.

3. Визначимо коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі:

.

3.1. .

3.2. ; .

3.3. .

3.4. ; .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

4. Знайдемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі

;

.

Оскільки стандартна помилка оцінки параметра  становить близько 17 \%, а стандартна помилка вільного члена перевищує його абсолютну величину в кілька разів, то можна стверджувати про наявність зміщення цих оцінок параметрів моделі та їх неефективність.