9.1. властивості оцінок моделі при стохастичних змінних

У попередніх розділах, розглядаючи модель

ми виходили з припущення, що змінні X є детермінованими і набувають значення з деякої множини фіксованих чисел. Проте, виходячи з економічних досліджень, доцільно замінити це припущення на менш жорстке, згідно з яким змінні X є стохастичними. У такому разі постає запитання, чи справджуватимуться й тоді основні результати, що стосуються перевірки значущості, довірчих інтервалів і т.ін. За умови, що змінні X мають функцію розпoділу, жодним чином не пов’язану з параметрами a і , і що всі ці змінні розподілені незалежно від залишків u, переважна більшість цих результатів виконуватиметься і для тих економетричних моделей, які мають стохастичну матрицю пояснювальних змінних X.

Нехай  — оцінка скалярного параметра a. Верхній його індекс вказує на розмір вибіркової сукупності, на основі якої оцінені ці параметри.

Означення 9.1. Сукупність оцінок  спостережень називаєть­ся послідовністю оцінок:

.

Означення 9.2. Якщо послідовність математичного сподівання па­раметрів   прямує до деякої константи, то ця констан­та є асимптотичним сподіванням, тобто .

Означення 9.3. Граничне значення послідовності дисперсій для  називається асимпотичною дисперсією

Оскільки для n ® ¥ вираз у правій частині може дорівнювати нулю, то дисперсія являє собою єдину точку, а саме .

Визначимо асимптотичні властивості оцінок 1МНК у загальній лінійній моделі зі стохастичними пояснювальними змінними:

де X — незалежна щодо всіх і кожного з елементів вектора u, тобто:

а)            (9.1а)

б)            (9.1б)

в) .           (9.1в)

Крім того, припустимо, що виконуються такі рівності:

а) ;          (9.2а)

б) ;          (9.2б)

в) .           (9.2в)

Припущення (9.2а) означає: дисперсія стала для всіх залишків.

Припущення (9.2б) стверджує існування границі за ймовірністю для дисперсій (других моментів) змінної X, які утворюють матрицю .

Припущення (9.2в) має такий зміст: границя за ймовірністю коваріацій між змінними X і залишками u дорівнює нулю.

Оцінка параметрів a 1МНК подається у вигляді

.

Звідси

.

Отже, оцінка , здобута з допомогою 1МНК, є обгрунтованою.

Асимптотична матриця коваріацій для  така:

,

або

                                (9.3)

Оскільки

,

а                              (9.4)

де                                            ,

то 1МНК забезпечує обгрунтовану оцінку асимптотичних дисперсій і коваріацій помилок, коли в моделі пояснювальні змінні є стохастичними.

Дуже часто на практиці змінні X не можуть бути повністю незалежними від u, як це припускалося раніше. Наприклад, однією з пояснювальних змінних може бути лагове значення залежної змінної Y, що може призвести до зміщення оцінки 1МНК для кінцевих вибіркових сукупностей.

Розглянемо модель

                ,               (9.5)

де                                            .

Оскільки  впливає на , а  впливає на , то і  впливає на  навіть тоді, коли послідовні значення залишків незалежні. Але коли значення  є незалежними, то зворотна залежність, тобто залежність між  і , може бути відсутня. Як ми бачили, обгрунтованість оцінки 1МНК залежить від двох припущень:

1)

2)

Для (9.5) друга умова має вигляд

Коли , то можна сказати, що . А це означає, що для моделі, яка містить лагові значення залежної змінної, можна чекати, що оцінка 1МНК буде обгрунтованою.