8.2. перевірка наявності автокореляції

8.2.1. Критерій Дарбіна — Уотсона

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

                                (8.12)

Він може набувати значеннь з проміжку [0, 4]: .

Якщо залишки  є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При до­датній автокореляції DW < 2, при від’ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень n і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості a. Табличні значення мають нижню межу DW1 і верхню — DW2.

Коли DWфакт < DW1, то залишки мають автокореляцію. Якщо Dwфакт > DW2, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW1 <DW< DW2, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, беручи більшу сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Вибірковий розподіл значень критерію Дарбіна — Уотсона залежить від емпіричних спостережень пояснювальних змінних і навіть якщо взяти до уваги цю обставину, можна стверджувати: параметр r для генеральної сукупності має тісний зв’язок з критерієм DW. Якщо r = 1, то значення DW = 0, при r = 0 DW = 2 і при r = –1 значення критерію DW = 4. Наведені співвідношення показують, що існують області, в яких застосування критерію Дарбіна — Уотсона не може дати певних результатів, про що вже було сказано. Верхні та нижні межі критерію DW визначають межі цієї області для різних розмірів вибірки, заданого числа пояснювальних змінних та певного рівня значущості.

Приклад 8.1. Нехай обсяг вибірки складається з 20 спостережень. На основі цієї вибірки побудовано модель, яка включає три пояснювальні змінні. Наведено табличні значення критерію Дарбіна — Уотсона DW1 і DW2 для 1 \%- і 5 \%-го рівня значущості:

  DW1                     DW2

a1 = 1 \%                                0,77                        1,41

a2 = 5 \%                                1,00                        1,68

Для додатної автокореляції залишків ці значення є межами п’яти інтервалів, на основі яких можна прийти до таких висновків:

1) 0 £ DW £ 0,77 — нульова гіпотеза відхиляється як при 1 \%-му, так і на 5\%-му рівнях значущості;

2) 0,77 £ DW £ 1,00 — нульова гіпотеза відхиляється при 5 \%-му рівні зна­чущості; для 1 \%-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

3) 1,00 £ DW £ 1,41 — критерій не дає певних результатів як при одному, так і при іншому рівні значущості;

4) 1,41 £ DW £ 1,68 — нульова гіпотеза не відхиляється при 1 \%-му рівні значущості, для 5 \%-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

5) 1,68 £ DW £ 2,00 — нульова гіпотеза не відхиляється при обох рівнях значущості.

Дж. Джонстон [3]наводить ряд спостережень, які свідчать про те, що верхня межа DW2 ближча до істинної межі прийняття гіпотези, яка перевіряється. тому якщо виникають сумніви, можна обмежитись одним показни­ком — DW2. Це означає, що сам критерій також може мати зміщення, він указує на наявність серійної кореляції першого порядку і там, де її не повинно бути. Дж. Джонстон зауважує, що оскільки наслідок некоректного прийняття нульової гіпотези може бути набагато серйознішим, ніж наслідок її некоректного відхилення, тому в сумнівних випадках нульову гіпотезу, як правило, краще відхилити. Якщо оцінка критерію DW перевищує 2, то при перевірці нульової гіпотези можна як альтернативну використовувати гіпотезу про існування від’ємної автокореляції першого порядку; у такому разі необхідно відняти відповідні значення від 4 і скористатись тими самими табличними значеннями DW.

8.2.2. Критерій фон Неймана

Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана:

                                (8.13)

Звідси . При . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і зада­ного числа спостережень. Якщо , то існує додатна автокореляція.

8.2.3. Нециклічний коефіцієнт автокореляції

Цей коефіцієнт виражає ступінь взаємозв’язку залишків кожного наступного значення з попереднім, а саме:

I ряд  — ;

II ряд — .

Він обчислюється за формулою:

                                (8.14)

Коефіцієнт  може набувати значень в інтервалі (–1;+1). Від’ємні значення його свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції, тобто стверджують нульову гіпотезу про відсут­ність автокореляції залишків. Оскільки ймовірнісний розподіл  встановити трудно, то на практиці замість  обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції .

8.2.4. Циклічний коефіцієнт автокореляції

Він виражає ступінь взаємозв’язку рядів:

I ряд  — , ;

II ряд — , .

Циклічний коефіцієнт обчислюється за формулою:

                                (8.15)

Для досить довгих рядів вплив циклічних членів на величину коефіцієнта  незначний, тому можна вважати, що ймовірнісний розподіл  наближається до розподілу . Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто u1 = un, то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному. Очевидно, що коли залишки не містять тренду, то припущення про рівність u1 = un недалеке від реальності і циклічний коефіцієнт автокореляції наближається до нециклічного.

Фактично обчислене значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду n. Якщо , то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати у вигляді

                                 (8.16)

На практиці часто замість (8.16) обчислюють

                                (8.17)