7.5. прогноз

Коли параметри економетричної моделі оцінюються узагальненим методом найменших квадратів, проблема прогнозування потребує спеціаль­ного дослідження.

Нехай  коли    де  .

Задача зводиться до того, щоб передбачити значення залежної змінної  для заданого вектора . Можна записати

                                (7.14)

де  — невідоме значення відхилень у прогнозний період. Нехай для

                 і              (7.15)

а                              (7.16)

де W — вектор коваріацій поточних і прогнозних значень залишків.

Сформулюємо лінійний прогноз:

                ,               (7.17)

де с — n-вимірний вектор, який має мінімізувати дисперсію прогнозу:

                                (7.18)

Мінімальне значення дисперсії прогнозу досягається для

Враховуючи (7.14) і (7.17), можна записати відхилення

З умови незміщеності прогнозу випливає, що вектор с повинен задовольняти рівність

                 = 0.        (7.19)

Тоді помилка прогнозу матиме вигляд:

Оскільки  — скаляр, то дисперсія прогнозу:

                (7.20)

Вірогідності прогнозу буде досягнуто тоді, коли дисперсія  стане мінімальною. Тому формулюємо задачу:

мінімізувати                         (7.21)

за умови незміщеності прогнозу:

 = 0.

Щоб розв’язати задачу (7.21), будуємо функцію Лагранжа

де l — (m – 1)-вимірний вектор, компонентами якого є множники Лагранжа. Продиференціювавши функцію за невідомими параметрами с і l і при­рівнявши похідні до нуля, дістанемо рівняння

Розв’язавши їх, знайдемо :

Підставимо це значення в (7.13) і визначимо найкращий лінійний незміщений прогноз

Оскільки               ,

то                            (7.22)

де  — вектор залишків, який відповідає оцінці параметрів моделі на основі 1МНК.

Отже, для прогнозу можна використовувати співвідношення (7.22). Цей прогноз має дві особливості:

1) вектор прогнозних значень  перемножується на вектор оцінок , обчислений згідно з узагальненим методом найменших квадратів;

2) для оцінювання невідомих прогнозних залишків  застосовується матриця V, яка містить інформацію про взаємозалежність залишків базисного періоду.