Економетрія - Навчальний посібник (Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П.)

7.3. визначення матриці s

Щоб оцінити параметри моделі, коли дисперсії залишків визначаються , потрібно визначити матрицю S.

Спинимось на визначенні матриці S.

оскільки явище гетероскедастичності пов’язане лише з тим, що зміню­ються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною, а саме:

Щоб пояснити, чому саме такий вигляд має ця матриця, потрібно ще раз наголосити: за наявності гетероскедастичності для певних вихідних даних одна (або кілька) пояснювальних змінних можуть різко змінюватись від одного спостереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі коливання, як і для попередніх спостережень.

Але це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути пропорційною до величини пояснювальної змінної X (або до її квадрата), яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата залишків.

Звідси в матриці S значення  можна обчислити, користуючись гіпотезами:

а) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснювальної змінної ;

б) , тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни квадрата пояснювальної змінної  ();

в) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за модулем.

Для першої гіпотези:

Для другої гіпотези:

Для третьої гіпотези:  або , або .

Оскільки матриця S — симетрична і додатно визначена, то при , матриця  P  має вигляд:

.

Приклад 7.5. Згідно з даними табл.7.3 треба побудувати матрицю S, яка використовується при визначенні дисперсій залишків , якщо побудова економетричної моделі пов’язана з явищем гетероскедастичності.

Скористаємося першою гіпотезою, згідно з якою  Звідси для даних, які наведено в прикладі 7.3 (див. табл.7.3) , Xi — дохід в і-му місяці. Тоді матриця S –1 запишеться так:

Стовпці (1–9)                                      Стовпці (10 –18)