Економетрія - Навчальний посібник (Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П.)

5.4. перевірка значущості і довірчі інтервали

5.4.1. Значущість економетричної моделі

Гіпотезу про рівень значущості зв’язку між залежною і незалежною змінними можна перевірити з допомогою F-критерію:

                                (5.15)

При цьому ми виходимо з того, що залишки u розподілені нормально, тобто користуємося фундаментальною теоремою про те, що для нормально розподіленої випадкової величини  з нульовою середньою і одиничною дисперсією сума квадратів її n випадково вибраних значень має розподіл  з n ступенями свободи.

Дисперсії, які застосовуються для обчислення F-критерію, наведено в табл.5.2.

Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи n – m і m – 1 і вибраному рівні значущості. Якщо Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про істотність зв’язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтвержується, у противному разі - відкидається.

Приклад 5.3. Обчислимо F-критерій для економетричних моделей (5.6), розглянутих у прикладі 5.1 (табл. 5.4).

Таблиця 5.4

Економетрична модель

Число ступенів свободи

F-критерій

1)

 

34,24

2)

 

19,45

3)

 

12,09

  F1табл (0,95)  для першої моделі дорівнює 5,32.

  F2табл (0,95)  для другої моделі дорівнює 4,74.

  F3табл (0,95)  для третьої моделі дорівнює 4,76.

Отже, при рівні значущості  = 0,05:

F1факт > Fтабл ,

F2факт > Fтабл ,

F3факт > Fтабл .

Це означає, що відповідні економетричні моделі є вірогідними, тобто підтверджується гіпотеза про те, що кількісна оцінка зв’язку між залежною і незалежними змінними в моделі є істотною.

Скориставшись виразами дисперсій, які наведено в табл.5.2:

а також формулою для обчислення коефіцієнта детермінації  запишемо альтернативну форму F-критерію:

                .               (5.16)

Згідно з цим критерієм перевіряється значущість коефіцієнта детермінації, а отже, й усієї моделі.

Цей результат підводить базу під традиційно дисперсійний аналіз, який застосовується для перевірки нульових гіпотез.

5.4.2. Значущість коефіцієнта кореляції

Оскільки коефіцієнт кореляції є також вибірковою характеристикою, яка може відхилятись від свого “істинного” значення, значущість коефіцієнта кореляції також потребує перевірки. Базується вона на t-критерії

де  — коефіцієнт детермінації моделі;  — коефіцієнт кореляції;  — число ступенів свободи.

Якщо , де  — відповідне табличне значення t-роз­поділу з  ступенями свободи, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежними змінними моделі.

Приклад 5.4. Для множинних коефіцієнтів кореляції, які наведено в табл.5.3, обчислимо значення t- критерію:

Табличні значення цього критерію при рівні значущості  = 0,05 і відповідних ступенях свободи такі:

t1табл = 1,860;

t2табл = 1,895;

t3табл = 1,943.

Порівнюючи їх з фактичними, де

t1 > t1табл,

t2 > t2табл,

t3 > t3табл,

доходимо висновку, що коефіцієнти кореляції, які характеризують тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними в моделях, є достовірними.

5.4.3. Значущість оцінок параметрів моделі

Перевіримо значущість оцінок параметрів Â і знайдемо для них довірчі інтервали, припустивши для цього, що залишки u нормально розподілені, тобто . Тоді параметри моделі Â задовольняють багатовимірний нормальний розподіл:

                                (5.17)

Коли відома величина , то цей результат можна бути використати для перевірки значущості елементів вектора  та оцінювання довірчих інтервалів елементів цього вектора. Проте дисперсія  невідома, а отже, потрібно розглянути методи її знаходження.

Для цього визначимо залишки:

                                (5.18)

Таким чином, залишки, які можна дістати на підставі експериментальних даних, записано у вигляді лінійних функцій від невідомих залишків . Тоді суму квадратів відхилень подамо у вигляді

                                (5.19)

де  N — симетрична ідемпотентна матриця.

У цих перетвореннях ми виходили з того, що N є симетричною ідемпотентною матрицею, оскільки En — одинична матриця, а  — симетрична розміром n ´ m.

Знайдемо математичне сподівання для обох частин рівняння (5.19) і застосуємо спочатку властивість, яка полягає в тому, що , де  — слід матриці N, а далі — властивість комутативності добутку матриць відносно операцій обчислення сліду матриці.

З огляду на сказане маємо:

                (5.20)

У цьому співвідношенні матриця  має порядок , добуток  дорівнює , а її слід дорівнює . Звідси

                .               (5.21)

Співвідношення (5.21) дає нам незміщену оцінку дисперсії залишків.

Нарешті, лишилося показати, що сума квадратів залишків  розподілена незалежно від Â. Для цього знайдемо коваріацію залишків:

                (5.22)

Оскільки  і Â є лінійні функції від нормально розподілених змінних, то вони також розподілені нормально і, як було показано, їх коваріації дорівнюють нулю.

Це дає нам змогу скористатися t-розподілом для перевірки гіпотез відносно істотності кожного з параметрів економетричної моделі

Перевірку гіпотези виконаємо згідно з t-критерієм:

                ,               (5.23)

де  — діагональний елемент матриці . Знаменник відношення (5.23)  — називається стандартною помилкою оцінки параметра моделі.

Обчислене значення t-критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і  ступенях свободи. Якщо t факт > t табл, то відповідно оцінка параметра економетричної моделі є достовірною.

На основі t-критерію і стандартної помилки побудуємо довірчі інтервали для параметрів :

                                (5.24)

Приклад 5.5. Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі (5.6)

побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 5.1.

Якщо ступінь свободи  = 10 – 4 = 6 і рівень значущості a = 0,05, t табл = 1,945. Оскільки t1факт > t табл, t2 факт > t табл, то оцінки параметрів ,  характеризують істотний зв’язок цих незалежних змінних (, ) із залежною; t3 факт < t табл, що підтверджує нульову гіпотезу про неістот­ність впливу змінної  на результативну ознаку .

Оцінка параметра  може перебувати в таких межах:

 

Відповідно можна знайти довірчі інтервали інших параметрів моделі. Коли стандартні помилки параметрів більші за абсолютні значення оцінки цих параметрів, то це може означати, що оцінка параметра є зміщеною. Нехай, наприклад, стандартна помилка на 10 \% перевищує абсолютне значення оцінки параметра, тоді вже можна говорити про те, що цей параметр має зміщення щодо його істинного значення.