Економетрія - Навчальний посібник (Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П.)

4.6. коваріаційна матриця оцінок параметрів моделі

У класичній регресійній моделі Y = XA + u вектор  і залежний від нього вектор  є випадковими змінними. До оператора оцінювання  входить вектор  (), а отже, оператор  також можна вважати випадковою функцією оцінювання параметрів моделі.

Відомо, що для характеристики випадкових змінних , поряд з математичним сподіванням, застосовуються також дисперсія  і коваріація  (j ¹ k). Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю

                                (4.16)

Оцінки коваріаційної матриці  використовуються для знаходження стандартних помилок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів . Вони використовуються й при перевірці їх статистичної значущості. На головній діагоналі матриці  містяться оцінки дисперсій  j-ї оцінки параметрів, що ж до елементів  (j ¹ k), які роз­міщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коваріації між  і .

Отже,

                ,               (4.17)

де  — незміщена оцінка дисперсії залишків;

.

Оскільки вектор залишків , то добуток векторів  можна записати так:

.

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

Позначимо (j, k)-й елемент матриці  символом , тоді j-й елемент по головній діагоналі матриці  обчислюється за формулою:

                .               (4.18)

Коваріації , що містяться за межами головної діагоналі, відповідно такі:

                .               (4.19)

Приклад 4.2. Для економетричної моделі (приклад 4.1) обчислимо коваріаційну матрицю .

Отже, маємо:

; ; ;

n = 16; m = 3.

Розв’язання.

1. Обчислимо оцінку незміщеної дисперсії залишків , скориставшись (4.10):

;

;

.

2. Визначимо оцінки дисперсії :

= 68,92 × 0,314 = 21,64;

 = 68,92 × 0,00003 = 0,00207;

 = 68,92 × 0,0165 = 1,137.

3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

 = 68,92 × (–0,00017) = –0,0118;

 = 68,92 × (–0,0446) = –3,0738;

 = 68,92 × (–0,00012) = –0,00827.

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій  вказує на те, що збіль­шення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення іншої і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

.

4. Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

;

;

;

.

Порівняємо кожну стандартну помилку  з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення :

;

;

.

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно 53 \%, 23 \% і 15 \%, а це свідчить про зміщеність оцінок.

Наслідком зміщеності є також те, що M(u) ¹ 0. У розглянутому прикладі M(u) = 0,22. Це означає, що залишки можуть мати систематичну складову, яка зумовлюється неточною специфікацією моделі. Наприклад, не всі основні чинники, що впливають на тижневі витрати, пов’язані з харчуванням (скажімо, ціни на продукти харчування), внесено до моделі.