4.4. оператор оцінювання 1мнк

Скористаємося моделлю (4.1), для якої виконуються умови (4.2)–(4.5), щоб оцінити параметри методом 1МНК.

Рівняння (4.1) подамо у вигляді: . Тоді суму квадратів залиш­ків u можна записати так:

Продиференціюємо цю умову за А і прирівняємо похідні до нуля:

або

                                (4.6)

Тут  — матриця, транспонована до матриці незалежних змінних X.

Звідси

                                (4.7)

Рівняння (4.6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а формула (4.7) показує, що значення вектора А є розв’язком системи таких рівнянь.

Формули (4.6) і (4.7) можна дістати й інакше.

Так, помноживши рівняння (4.1) зліва спочатку на , а потім на матрицю , дістанемо:

Оскільки  то справджується рівність

.

Згідно з (4.4),  коли , ,  отже,

                                (4.7)

Неважко показати, що оцінки Â, обчислені за (4.7), мінімізують суму квадратів залишків u. При цьому значення вектору Â є розв’язком так званої системи нормальних рівнянь

.

Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від свого середнього, то матрицю  називають матрицею моментів.

Числа, що розміщені на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.Отже, структура матриці моментів відбиває зв’язки між незалежними змінними. Чим ближчі показники коваріацій до величини дисперсій, тим ближчий визначник матриці  до нуля і тим гірші оцінки параметрів . Далі буде показано, що стандартні помилки параметрів  прямо пропорційні до значень, розміщених на головній діагоналі матриці .

Розглянемо приклад оцінювання параметрів моделі 1МНК.

Таблиця 4.1.

Приклад 4.1. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування, загальними витратами та розміром сім’ї. Вихідні дані наведені в табл. 4.1.

Розв’язання. Запишемо економетричну модель:

де  y,  — відповідно фактич­ні та розрахункові значення тижневих витрат на харчування за моделлю; x1 — загальні витрати; x2 — розмір сім’ї; u — залишки; , ,  — оцінка параметрів моделі.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд

де ;                   

 — матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X крім двох векторів незалежних змінних містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. не дописуючи такого вектора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рівністю:

де  — середнє значення залежної змінної; ,  — середні значення незалежних змінних  і .

Згідно з оператором оцінювання знайдемо:

1)

2)

3) ;

4)

Отже, економетрична модель має вигляд

Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:  = 8,8;  = 0,2;  = 6,97, тобто

.

Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна  (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна  (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,2 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна  (розмір сім’ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна  (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 6,97 одиниць. Якщо значення двох незалежних змінних дорівнює нулю, то значення  дорівнювє = 8,8.