3.7. системи лінійних рівняньЗапишемо систему рівнянь у матричному вигляді АХ = В, (3.32) де
Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n × 1; вектор-стовпець В — порядок n × 1. Якщо матриця А невироджена, тобто rgA = n і , то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду (3.33) Приклад 3.5. Знайти розв’язок системи У матричному виді: AX = B;
отже, . = –2 – 15 = –17 — матриця невироджена. Запам’ятайте: для матриці обернена матриця має вигляд . . Отже, Розв’язок системи: = 1; = 3. Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь: АХ = 0 (3.34) Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру n × 1. Тривіальний розв’язок має вигляд: . Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник матриці А дорівнює нулю: Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати, вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність (3.35) Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь. (3.36)
, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки. Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:
Систему (3.36) подамо як лінійну комбінацію вектора : (3.37) Неважко побачити, що ; розв’язками системи (3.36) будуть і ці самі значення, помножені на будь-які числа, які задовольняють рівняння (3.37). Отже, система векторів є лінійно залежною, причому розв’язки системи лінійних рівнянь (3.36) є коефіцієнтами лінійної комбінації вектора : (3.38) 3. 8. Характеристичні (власні) корені і власні вектори матриць Розглянемо систему рівнянь (3.39) де — скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n × 1. Систему (3.39) запишемо у вигляді або (3.40) Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок, коли або (3.41) Означення 3.21. Рівняння відносно називають характеристичним рівнянням матриці А. Корені цього рівняння l є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А. Візьмемо будь-який корінь характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь (3.40). Дістанемо рівняння (3.42) яке має нетривіальний розв’язок, оскільки . Нехай цим розв’язком є вектор . Такий вектор є характеристичним, або власним, вектором матриці А, який відповідає характеристичному кореню . Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо, що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко). Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто такі що: . Зауважимо, що коли матриця А в рівнянні (3.40) — симетрична (тобто ), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці, то добуток (3.43) Отже, якщо власні вектори матриці А розміщені у вигляді стовпців матриці Х, то добуток перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні корені l на головній діагоналі. Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А. Запишемо рівняння або
(3.44) Запишемо характеристичне рівняння для системи (3.44):
(3.45) Отже, . (3.46) Нехай матриця А — симетрична, тоді і характеристичні корені цієї матриці . (3.47) Підставивши поступово в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А. Приклад 3.8. Знайти характеристичні корені і власні вектори X1, X2 матриці А: . Матриця А симетрична. Для визначення застосуємо (3.47): Щоб знайти власні вектори i , розв’яжемо для кожного систему рівнянь (3.44). Нехай, тоді (3.48) Нормалізуємо вектор , зводячи його довжину до 1, тобто: (3.49) Підставимо (3.48) в (3.49):
Звідси, Власний вектор (3.50) Для знаходження власного вектора покладемо . Система (3.44) запишеться у вигляді (3.51) Нормалізуємо вектор , звівши його довжину до 1, тобто: (3.52) Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо: Власний вектор (3.53) Зауважимо, що оскільки , то власні вектори X1 і X2 ортогональні, тобто лінійно незалежні: Перевіримо, чи виконується (3.43): Отже, співвідношення справді переводить матрицю А в діагональну матрицю . Це підтверджує правильність наведених обчислень. 3.9. Квадратичні форми 3.9.1. Означення квадратичної форми Означення 3.22. Квадратичною формою від n невідомих називається сума, кожний доданок якої є квадратом одного з цих невідомих або добутком двох різних невідомих: (3.54) Коефіцієнти членів розміщені на головній діагоналі матриці А, а інші елементи матриці симетричні і дорівнюють відповідно половинам коефіцієнтів при : Симетричну матрицю називають матрицею квадратичної форми. У векторно-матричній формі квадратична форма має вигляд , де , A — симетрична матриця. Розглянемо, наприклад, два випадки. 1. Матриця А має розмір 2 × 2, а саме . Тоді квадратична форма 2. Матриця А діагональна, тобто У такому разі — вагова сума квадратів. Означення 3.23. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю А називають додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли для всіх дійсних .
Означення 3.24. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю називають додатно напіввизначеною, коли для всіх Х. Запам’ятайте важливу властивість додатно визначених матриць. Матриця А додатно визначена тоді і тільки тоді, коли її характеристичні корені (власні значення) додатні, а саме: (3.55) Рівняння (3.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату, який корисний при вивченні узагальненого методу найменших квадратів. Оскільки всі додатні, можемо задати діагональну матрицю D такого виду: (3.56) Неважко побачити, що добуток (3.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає одиничну матрицю: (3.57) Нехай Z = XD, тоді (3.58) Оскільки матриці Х і D — невироджені, то Z — також невироджена. Виконавши відповідні перетворення, дістанемо: (3.59) Отже, коли матриця А додатно визначена, то можна знайти таку невироджену матрицю , що . 3.9.2. Випадкові квадратичні форми Нехай d — випадковий вектор, А — детермінована симетрична матриця. Добуток називають випадковою квадратичною формою, коли коваріаційна матриця d дорівнює і математичне сподівання M (d) = 0. Застосувавши оператор математичного сподівання до випадкової квадратичної форми , дістанемо: (3.60) де tr (A) — слід матриці А. Наведемо властивості випадкової квадратичної форми. Означення 3.25. 1. Квадратична форма має розподіл із k ступенями свободи тоді і тільки тоді, коли А — ідемпотентна матриця (тобто ) і rgA = trA = k . 2. Нехай В — детермінована матриця, така що BA = 0 і . Тоді і — незалежні. 3. Якщо — симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень 4. Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або одиниці, а саме: якщо то ; проте , тобто , оскільки , то . Звідси або . 5. Матриця є ідемпотентною, rgA = 1 і матриця Z має таку властивість, що () — квадратна симетрична невироджена матриця. Приклад 3.9. Нехай ; тоді ; , отже, матриця — невироджена. . Визначимо нову матрицю А так: . Матриця А — симетрична та ідемпотентна, оскільки . Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1. Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв’язавши рівняння , дістанемо = 1 і = 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4. 3.10. Диференціювання функції багатьох змінних (градієнт функціі f (x) ) Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x1,x2 ... xn), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x1, x2 ... xn. Тоді можна коротко записати f (x) = (x1, x2 ... xn. Означення 3.25. Градієнтом функції f(x) (позначається: ) називається вектор, який складається з частинних похідних функції f (x) за x1, x2 ... xn: (3.61) Нехай потрібно визначити градієнт функції , коли і . Тоді . Отже, градієнт функції . (3.62) Узявши до уваги, що , градієнт можна визначити як . (3.63) Далі розглянемо функцію , де A = (aij) — симетрична матриця порядку n і — n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як квадратичну форму (див.підрозділ. 3.9). Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо як скалярний добуток:
(3.64) . Знайдемо компоненти вектора-градієнта. Перший компонент . другий компонент: n-й компонент: Отже, градієнт від квадратичної форми має вигляд (3.65) Отже, скорочено (3.66) 3.11. Короткі висновки 1. Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з m рядків і n стовпців: 2. Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розміпр m × n. 3. Якщо , то матриця — прямокутна; якщо m = n — матриця квадратна порядку n (або m ). 4. Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно: матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають векторами, а саме:
5. Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою: 6. Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною: 7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а саме то така матриця називається одиничною n-го порядку. 8. Якщо в матриці поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю 9. Квадратна матриця А називається симетричною, якщо . 10. Додавання і віднімання виконується тільки для матриць одного й того самого порядку. Якщо і мають однаковий порядок, то матриця суми (різниці) . 11. Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр l: При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони: а) б) в) г) д) 12. Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Кожний елемент матриці-добутку С = АВ є сумою добутків відповідних елементів і-го рядка на відповідні елементи j-го стовпця: 13. При множенні матриць справджуються такі закони: а) ; б) (АВ)С = А(ВС); в) (А + В)С = АС + ВС; г) С(А + В) = СА + СВ; д) е) АE = EA = A; є) 14. Добуток матриці на дає скаляр Якщо вектор , то і
15. Квадратна матриця, що задовольняє умову , називається ідемпотентною. 16. Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора матриці А, який відрізняється від нуля: m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А. 17. Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу виконуються такі співвідношення: а) rgA = rg ; б) rg A = rgA; в) rgAB min(rgA, rgB). г) rg = n . 18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід матриці і її визначник (детермінант). Слідом матриці розмірности (n × n) є сума елементів, що містяться на її головній діагоналі, тобто Для сліду виконуються такі співвідношення: а) б) (А і В — матриці однакового порядку); в) tr(AB) = tr(BA); г) (коли А — симетрична); д) 19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n-го порядку називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n співмножників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка (стовпця) визначника. Позначається: det A або . 20. Визначник (n – 1)-го порядку, в якому викреслені і-й рядок і j-й стовпець, називається мінором елемента і позначається . 21. Мінор , який береться зі знаком , де і — номер рядка, j — номер стовпця елементa , називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме: 22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення: 23. Квадратна матриця, для якої , називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину обернену матрицю, для якої виконується:
Обернена матриця знаходиться з виразу де J — приєднaна матриця. 24. Основні властивості оберненої матриці: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Матриця, для якої , називається ортогональною. 26. Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються блоковими:
Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил: — підматриці, що стоять поруч – і – — повинні мати однакову кількість рядків; — підматриці, які стоять одна під одною – і – — повинні мати однакову кількість стовпців. 27. При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий. При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями. 28. Кронеккеровий добуток двох матриць де ; . Якщо матриця блокова, то . 29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса: , (3.27) де ; 30. Детермінант блокової матриці А 31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe
Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як . 32. Система лінійних рівнянь АХ = 0, називається однорідною. Вона має нетривіальні розв’язки, якщо . Система рівнянь має нетривіальний розв’язок, якщо Останнє рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А. 33. Корені рівняння є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А. 34. Вектори Xk, які є розв’язком системи для відповідного характеристичного кореня , називаються власними векторами матриці А. Добуток де Х — матриця власних векторів А; — характеристичні корені матриці А. 35. Квадратична форма від n невідомих записується у вигляді: У векторно-матричному запису квадратичну форму можна подати так: , де , А — симетрична матриця. 36. Якщо d — випадковий вектор, для якого виконується: , то — називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової квадратичної форми 37. Якщо — симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень: Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнююють або нулю, або одиниці. Матриця є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1. 38. Градієнтом функції f (x), коли x = (x1, x2 ... xn) є вектор . 39. Якщо функція , то градієнт її . 40. Градієнт квадратичної форми дорівнює . 3.12. Запитання та завдання для самостійної роботи 1. Задані матриці:
Знайдіть матриці суми (різниці): . Поясніть, чому не існує суми (різниці) матриць: . 2. Для матриць із завдання 1 знайдіть добутки: BA; CF; CK; AE; DE. Поясніть, чому не існує добутків AB; CD; FC; FB; KA; KE. 3. Для матриць із завдання 1 знайдіть транспоновані до них матриці. 4. Із множини матриць завдання 1 знайдіть симетричні. Яка ознака симетричної матриці? 5. Покажіть, що для матриць із завдання 1 справджується тотожність . 6. Яка матриця називається ідемпотентною? Покажіть, що матриця є ідемпотентною. 7. Назвіть скалярні характеристики матриць. 8. Покажіть, що для матриць А і С із завдання 1 ; . 9. Дано матрицю . Чому дорівнює слід (tr A) матриці А? 10. Для матриці А із завдання 9 покажіть, що . 11. Дано симетричну матрицю . Покажіть, що . 12. Знайдіть визначник матриці А із завдання 11. 13. Для матриці А із завдання 11 покажіть, що . 14. Яка матриця має обернену матрицю? Які з поданих далі матриць мають обернені:
15. Наведіть основні властивості оберненої матриці. 16. Задано матрицю , обернену до матриці А: . Покажіть, що . 17. Покажіть, що матриця . є ортогональною. 18. Задана систему лінійних рівнянь
Матриця, обернена до матриці системи, . Знайдіть розв’язок даної системи рівнянь. 19. Яка матриця називається блоковою? 20. Задано по чотири блоки блокових матриць А і В: ;
Знайдіть суму (різницю) блокових матриць . 21. Яка умова множення блокових матриць? З відповідних блоків матриць А і В з попереднього завдання складіть дві матриці, які можна було б помножити одна на одну. 22. Задано матриці
Знайдіть матрицю Кронеккeр-добутку (прямого множення) . 23. Задана блочна невироджена матриця
Знайдіть обернену матрицю . 24. Яке рівняння називають характеристичним рівняння матриці А? 25. Яку назву мають корені характеристичного рівняння? 26. Чому дорівнює добуток , де Х — власні вектори матриці А? 27. Знайдіть характеристичні корені і власні вектори матриці:
28. Дайте означення квадратичної форми. Запишіть її у розгорнутому вигляді і в матричній формі. 29. Коли квадратична форма є додатно визначеною і напіввизначеною? 30. Яку квадратичну форму називають випадковою квадратичною формою? 31. Чому дорівнює математичне сподівання випадкової квадратичної форми? 32. Сформулюйте властивості випадкової квадратичної форми. 3.13. Основні терміни і поняття
|
| Оглавление| |