2.6. короткі висновки

1. Методи управління економічними системами та процесами базуються на широкому застосуванні математичних методів і ЕОМ. Математика, проникаючи в сутність економічної науки, приносить із собою точність  та  уні­версальність розв’язків, строгість і довершеність наукових концепцій.

2. Математична модель містить у собі три групи елементів:

1) характеристику об’єкта, який потрібно визначити (невідомі величини), — вектор Y;

2) характеристики зовнішніх умов щодо об’єкта, який моделюється, — вектор X;

3) сукупність внутрішніх параметрів об’єкта — A.

Множина умов та параметрів X і A можуть розглядатися як екзогенні величини, тобто такі, що визначаються за межами моделі, а величини, що входять до вектора Y, — як ендогенні, тобто такі, що визначаються за допомогою моделі.

3. Усі математичні моделі поділяються на дві групи: структурні та функціональні. Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об’єкта, його складові частини, внутрішні параметри, їх зв’язок із «входом» та «виходом» і т.ін. Функціональні моделі описують сутність об’єктів, що моделюються, через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поводження.

4. Розрізняють три види структурних моделей:

1) Yj = fj ( A, X );

2) yi ( A,X,Y ) = 0;

3) імітаційні моделі.

У моделях першого виду всі невідомі величини зображуються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об’єкта.

У моделях другого виду невідомі визначаються одночасно із систем співвідношень і-го виду.

В імітаційних моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвідношень невідомий.

5. Функціональні моделі описують поводження об’єкта так, що, задаючи значення «входу» X, можна дістати значення «виходу» Y без залучення ін­формації про параметри A, тобто Y = A( X ). Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор A, який пов’язує X і Y.

6. Якщо функціональна модель поряд з екзогенними змінними X містить стохастичну складову u, тобто Y = f( X, u ), то вона належить до класу економетричних моделей. оскільки величина Y залежить від стохастичної змінної u, то вона є стохастичною, а отже, економетрична модель також є стохастичною.

7. Побудова економетричної моделі можлива за таких умов:

1) наявність достатньо великої сукупності спостережень вихідних даних;

2) однорідність сукупності спостережень;

3) точність і вірогідність вихідних даних;

4) висунення гіпотези про набір змінних і структуру зв’язків.

8. Сукупність спостережень можна зобразити у вигляді упорядкованого набору (матриці) даних з параметрами n, m, T, де n — число одиниць сукупності (); m — число ознак, які описують кожну одиницю (); T — проміжок часу, за який вивчається ознака певного спостереження. За способом формування розрізняють три види вибірок: часову, просторову і просторово-часову. Просторова сукупність спостережень вивчається в статиці, її можна зобразити у вигляді матриці розміром n ´ m. Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об’єкта в динаміці, тобто по суті складається з дво- чи багатовимірного часового ряду. Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок.

9. Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об’єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на підставі кількісних ознак.

10. Щоб забезпечити порівнянність ознак спостережень у просторі та часі, необхідно мати:

1) однаковий ступінь агрегування;

2) однакову структуру одиниць сукупності;

3) одні й ті самі методи розрахунку показників у часі;

4) однакову періодичність обліку окремих змінних;

5) порівнянні ціни та інші однакові економічні умови.

11. Формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, необхідно звертати увагу на можливість існування помилок вихідних даних. Якщо немає змоги позбутися цих помилок, то необхідно вдатись до спеціальних методів оцінювання параметрів економетричної моделі.

12. Вибір змінних моделі може охоплювати такий перелік задач:

1) визначення набору змінних, які описують процес функціонування досліджуваних об’єктів;

2) аналіз структурних зв’язків між окремими змінними;

3) установлення переліку допустимих операцій над змінними і зв’язка­ми, тобто вибір раціонального типу економетричної моделі.

13. Економетричні моделі описують вплив багатьох чинників на економічні процеси та явища. Причому для організації цих зв’язків може використовуватись не одне рівняння, а їх система. Якщо економетрична модель характеризує зв’язок двох змінних, одна з яких є результативною (залеж­ною), то така модель називається простою.

14. Конкретна аналітична форма взаємозв’язку між економічними показниками згідно з простою економетричною моделлю вибирається на підставі змістовного тлумачення цього зв’язку. Найпростішою є лінійна форма між двома змінними:

Y = a0 + a1X ,

де a0 і a1 — невідомі параметри; Y — залежна змінна; X — незалежна змінна.

Можливі і інші форми залежності між двома змінними, наприклад:

15. Наведені форми залежності кількісно описують взаємозв’язок між економічними показниками лише в середньому, а кожне індивідуальне значення відрізнятиметься від обчисленого з допомогою функції, оскільки на цей зв’язок впливають і інші фактори, серед яких є випадкові, не враховані при вимірюванні.

16. Щоб урахувати наявність впливу факторів, які не входять до економетричної моделі, вводиться стохастична складова. Математичний аналіз цієї складової дає змогу зробити висновок про те, чи можна вважати її ви­падковою величиною, чи вона містить систематичну частину відхилень, яка може бути зумовлена наявністю тих чи інших помилок у моделюванні. Економетрична модель у такому разі подається у вигляді

Y = a0 + a1X + u .

17. У класичній лінійній економетричній моделі змінна u інтерпре­тується як випадкова змінна, що має розподіл з математичним сподіванням, яке дорівнює нулю, і постійною дисперсією . Це дає змогу розглядати змінну u як стохастичне збурення (помилку, відхилення). Згідно з центральною граничною теоремою стохастична складова економетричної моделі розподілена за нормальним законом.

18. Якщо економетрична модель вимірює зв’язок між двома змінними, то кожну пару спостережень над цими змінними можна зобразити у двовимірній системі координат. У результаті дістаємо кореляційне поле точок. Згідно з гіпотезою про лінійність зв’язку через кореляційне поле точок можна провести принаймні кілька прямих ліній, які різняться своїми параметрами a0 і a1.

19. Щоб певна пряма адекватно описувала фактичну залежність, необ­хідно застосувати такий метод оцінювання параметрів моделі  і , коли відхилення фактичних значень від розрахункових будуть мінімальними. У цьому разі мінімізації підлягає сума квадратів відхилень (залишків):

,

на якій грунтується метод найменших квадратів (1МНК).

20. Необхідною умовою мінімізації залишків є перетворення на нуль похідних цієї функції за кожним із параметрів  і . У результаті утворюється система нормальних рівнянь

розв’язком якої є знаходження невідомих оцінок параметрів   і .

21. Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії проходить обов’язково через точку середніх значень (,), то оцінки параметрів моделі можна дістати так:

;    ;

, .

22. для фактичних значень незалежної змінної модель має вигляд:

Y = a0 + a1X + u ,

а для розрахункових:  

Тому залишки обчислюються згідно з рівністю

u = Y – .

Незміщена оцінка дисперсії залишків подається так:

23. задавши певну функцію закону розподілу залишків, оцінки параметрів моделі ,  і  можна знайти за методом максимальної правдоподібності. Якщо залишки розподілені за нормальним законом, то функція правдоподібності запишеться так:

24. Підставивши в цю функцію значення залишків ui (), продиференціюємо її за невідомими параметрами , ,  і прирівняємо перші похідні до нуля. У результаті дістанемо систему рівнянь

25. Якщо оцінки параметрів моделі  і  є лінійними функціями від залишків ui, які задовольняють багатовимірний нормальний розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної правдоподібності збігаються. Тому оцінки  і  також будуть нормально розподіленими, і математичним сподіванням їх будуть параметри a0 і a1.

26. Співвідношення між невідомою оцінкою дисперсії згідно з методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії подається так:

.

Воно має розподіл c2 з n – 2 ступенями свободи і розподілене незалежно від і . Звідси очевидно, що коли  n ® ¥ , то .