Глава  5.     романс энергии

  Храни нас Бог От виденья, единого для всех, И снов Ньютона.

Уильям Блейк

.

Непрерывный триумф физики Ньютона и астрономии продолжался целое столетие после публикации “Принципов..”. Математические вычисления превратились в аналитический инструмент, и движения Луны и планет были рассчитаны с удивительной точностью[2]. Однако к концу этого периода многие ученые стали понимать, что с практической точки зрения законы Ньютона, да и само понятие импульса являются только началом науки о движении, динамики, а не её завершением, как это казалось вначале.

Проблема заключалась том, что механика Ньютона рассматривала силу как основное (базовое) понятие, и развивалась от этой отправной точки. Она не давала готового ответа на вопрос, с которым пионеры промышленной революции сталкивались ежедневно: “Что нужно сделать, чтобы произвести силу?” Инженеры и изобретатели стремились создать движение там, где его ранее не существовало. Всё, что мог предложить им Ньютон — это гарантия того, что если им удастся сделать это, то при этом неизбежно возникнет равное и противоположное движение. Это была помощь, но не очень существенная.

Поэты и философы, которые несколько десятилетий назад восторженно приветствовали освобождающее влияние идей Ньютона, вдруг стали говорить и об их “темной” стороне. Действительно, холодный аналитический метод, ищущий максимальную точность во всём, часто терял из виду красоту и единство природы. Они восторгались мощью человеческого духа и боялись бесплодного рационализма, который, как им казалось, не оставлял места для эмоциональной творческой мысли.

Реакцией физики на эти критические замечания, исходящие из двух противоположных полюсов, стало развитие понятия энергия. Сегодня это понятие не только занимает центральное место в физической теории, но и связывает физику с другими науками и с реальным миром.

Чем мы “платим” за силу ?

Несколько примеров помогут нам показать практические недостатки строгой ньютоновской физики и укажут путь к новым понятиям, которые сделают её более полезной.

Рассмотрим сначала пулю, выпущенную из ружья. Закон сохранения импульса требует, чтобы оружие отскочило с тем же (но противоположно направленным!) импульсом, что и у пули. Общий импульс был равен нулю до выстрела и остается таковым и после выстрела. Но простой здравый смысл говорит нам, что кое-что существенное изменилось. Кое-что было вынуто из небольшого количества пороха и преобразовано в движение пули и оружия. При выстреле порох был преобразован и потерял способность сделать это снова. Итак, физика должна быть в состоянии делать различие между ситуациями “до” и “после”.

Теперь рассмотрим пример одного из самых знакомых практических применений силы — её способность передвигать транспортные средства, например, автомобиль. Большую часть времени автомобиль движется с довольно постоянной скоростью, но все же некоторая сила необходима для того, чтобы преодолевать трение и сопротивление воздуха. С точки зрения законов Ньютона это абсолютно понятный и полностью неинтересный случай. Движущая автомобиль сила точно уравновешивает сопротивление, так что результирующая сила, а вместе с ней и ускорение равны нулю.

Законы Ньютона не полностью бесполезны в этой ситуации. Они говорят проектировщику, какая дополнительная сила необходима, чтобы ускорить автомобиль и какую силу должны проявить тормоза, чтобы при необходимости остановить машину.

Мы, однако, прекрасно понимаем, что двигатель жжет топливо, а тормоза — нет. Тормоза, тем не менее, при торможении нагреваются, и конструкторы должны искать способы избавиться от этой теплоты. (Вопросы о том, сколько топлива должен потреблять двигатель и до какой температуры могут быть нагреты тормозные колодки, явно лежат за пределами динамики.)

Когда же автомобиль движется по кривой с постоянной скоростью, ситуация иная. При малом радиусе поворота ускорение автомобиля почти такое же, как при его быстром старте (“педаль газа в пол”), но при этом нет существенного увеличения расхода топлива.

Чтобы разогнать автомобиль, мы должны взять кое-что от топлива; чтобы остановить его, мы повышаем температуру тормозов; а вот чтобы изменить направление его движения ничего не нужно брать или отдавать внешнему миру. Однако в каждом из этих случаев действуют силы примерно одной и той же величины. Направление силы — вот что имеет значение! За силу, направленную вперёд, нужно заплатить (на бензоколонке), за силу, направленную назад придется платить в автомастерской (при замене тормозных колодок), а вот сила, перпендикулярная движению ничего не стоит![3]

Используя эти примеры мы можем составить программу дальнейшего развития динамики:.

1. Необходим новый закон  сохранения, имеющий дело с ненаправленной (скалярной[4]) мерой движения, которая, в отличие от импульса, не обнуляется при сложении двух противоположных движений.

2. При введении этой меры движения в ньютоновскую физику всё же нужно учитывать направление силы относительно движения: сила, направленная вперёд должна давать положительный эффект, направленная назад — отрицательный, а сила, перпендикулярная движению — никакого эффекта вообще.

3. И, наконец, мы должны найти связь этой меры движения с вещами, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к движению: теплота и то кое-что, что скрывается в топливе и взрывчатых веществах.

Пришло, наконец, время дать название этой мере, которая иногда проявляет себя как движение, а иногда и в других формах; Это таинственное кое-что называют энергией. Термин был заимствован физикой от поэтов и философов, которые сожалели о его бесплодии. Мы начнем исследование энергии с поиска её места в ньютоновской физике.

Работа и кинетическая энергия

Расширяя ньютоновский язык описания движения, мы вводим новую меру движения, называемую кинетической энергией (KE), которая определяется формулой:

               (5.1)

Как мы скоро увидим, множитель в формуле (5.1) появляется, подобно тому, как и в формуле Галилея для равноускоренного движения.

Определение кинетической энергии выглядит обманчиво похожим на определение импульса, но факт, что в нем скорость возводится в квадрат, имеет решающее значение. Именно это делает кинетическую энергию ненаправленной (скалярной) мерой движения. Положительна ли скорость или отрицательна, ее квадрат всегда положителен. Движения в противоположных направлениях не уравновешиваются!

Второй шаг определяет величину, называемую работой. Работа — мера изменения энергии под действием силы. Работа вычисляется перемножением силы F и расстояния, s, на котором тело движется строго в направлении действия силы. Например: если сила — сила тяжести, то мы учитываем только вертикальное перемещение движущего тела. Это определение работы наиболее просто выражается математической формулой, содержащей тригонометрическую функцию косинус.

                 (5-2)

где  — угол между силой и направлением движения.

Даже если Вы не очень дружите с тригонометрией, смысл формулы   (5-2) легко объяснить. Если сила направлена вперёд, то  меньше чем 90°. Для таких углов косинус положителен. Для углов от 90° до 180° косинус отрицателен. Для угла 90° косинус равен нулю, и, таким образом, никакая работа не совершается. А ведь это именно то, что мы потребовали в п. 2 предыдущего раздела!

Чтобы проиллюстрировать использование понятий работы и кинетической энергии, рассмотрим тело, которое начинает двигаться из состояния покоя под действием постоянной силы. Оно может двигаться только в направлении силы, так что угол =0°, а его косинус равен единице. Таким образом, работа — это просто.

Движение тела происходит с постоянным ускорением, так что складывается точно такая же ситуация, что описана в Главе1. Значит, можно  использовать формулу  для вычисления перемещения. Мы также можем использовать второй закон Ньютона и заменить силу произведением . Тогда мы имеем:

Этот пример, адресованный тем, кто не боится математики, показывает, что совершенная силой работа равна появившейся у тела кинетической энергии.

Рассмотрим теперь автомобиль, движущийся с постоянной скоростью. В этом случае сила, производимая двигателем, тоже совершает работу, но эта работа не приводит к увеличению кинетической энергии. Дело в том, что сила, производимая двигателем, уравновешена трением и сопротивлением воздуха. Работа, совершенная этой силой, однако, не теряется — она переходит в другие формы энергии. А это как раз именно то, что мы зафиксировали в п. 3 предыдущего раздела!

Можем ли мы вернуть свои деньги?

Все те преобразования энергии, которые мы успели рассмотреть, были сопряжены с существенными изменениями в окружающем мире: сгорает бензин, нагреваются тормоза и т.д. Однако с некоторыми силами, и особенно с силой тяжести, происходит что-то таинственное. Падающий камень приобретает энергию, при своем падении. Откуда эта энергия? Ведь ничего, кроме местоположения камня не меняется!

Ответ на этот вопрос помогает найти пример, показанный на рис. 5-1. С точки зрения энергии — это свободное падение “наоборот”, поскольку при подъёме камня с помощью лебёдки энергия расходуется без какого-либо видимого результата, кроме изменения в положении камня.

Снова, с ньютоновской точки зрения ничего интересного здесь не происходит. На большей части своего пути “вверх” камень движется с постоянной скоростью — его вес, точно уравновешен силой натяжения веревки. Правда, для того, чтобы привести камень в движение должен существовать краткий момент, когда сила натяжения верёвки превышает вес камня, но после этого движение камня равномерно. В терминах законов Ньютона это означает, что камень может и вообще остановиться. А вот с точки зрения человека, работающего за лебёдкой, различие есть, и весьма значительное. Да, он может остановить подъём груза, поставить лебёдку на тормоз и уйти. Но это не поднимет камень — для дальнейшего подъёма придется ещё попотеть, развивая мышечные усилия и совершая работу. Эта работа — произведение веса mg на расстояние h — не идет на увеличение кинетической энергии камня. Так что же, эта работа потеряна навсегда?

Ответ: конечно же, нет! Если перерезать веревку, то камень начнет падать. Сила тяжести действует на камень, и он достигнет поверхности земли с кинетической энергией, равной работе силы тяжести. Таким образом, камень будет двигаться с такой же скоростью, которую он приобрел бы, если бы затраченная работа была совершена над ним в отсутствии силы тяжести.

Энергию, "запасенную" таким образом называют потенциальной энергией. Смысл слова очевиден. Поднимая камень, мы создали ситуацию, которая потенциально может создать движение. Перерезав верёвку, мы преобразуем этот потенциал в реальное движение.

Процесс преобразования потенциальной энергии в кинетическую энергию является постепенным. Когда камень проделал только одну десятую часть своего пути к земле, то сила тяжести совершила только одну десятую часть своей работы. Одна десятая часть энергии стала кинетической, другие девять десятых частей остаются потенциальными. Поскольку камень продолжает свое падение, потенциальная энергия постепенно расходуется, а кинетическая — увеличивается. Когда камень достигнет земли, вся потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую, и работа, затраченная на подъем камня, проявит себя как кинетическая энергия камня.

Эти отношения могут быть выражены математически в форме

                 (5-4)

где h — высота на которой находится падающий камень, а Н — высота, с которой он начал своё падение. С помощью этой формулы для любой высоты h мы можем вычислить скорость камня, поскольку его кинетическая энергия — это разность между mgH и mgh.

Но ведь Галилей делал то же самое, не пользуясь понятиями кинетической и потенциальной энергии.

Да, действительно, если бы уравнение (5-4) было применимо только к падающему камню, то его вряд ли стоило бы даже записывать. Но рассмотрим аттракцион, схематически изображенный на рис. 5-2[5]. Формула (5-4) применима и в этой ситуации. Как только тележка поднята на вершину первого возвышения и отпущена, она движется под действием только двух сил: силы тяжести и силы реакции рельс. Однако последняя всегда перпендикулярна движению, и, следовательно, не совершает никакой работы. Скорость, которую приобретает тележка в разных точках этого извилистого рельефа, зависит только от высоты этой точки над основанием и совпадает со скоростью тела, свободно падающего с высоты Н[6].