6.6.   разработка   вероятностной   сетевой   модели   учебного   плана   в   виде параллельно-последовательного процесса изучения связанного комплекса модулей

Поскольку множество модулей образует ориентированный граф с учетом логической связности модулей и каждая вершина взвешена неопределенным временем изучения модуля (случайная величина, лингвистическая переменная) построим сетевую модель изучения курса.

Сетевая модель учебного плана

Пусть имеется множество этапов обучения модулей {O;} i=1..Io. Время изучения материалов обозначим 7;. Желательна такая компоновка курса, при которой на всем планируемом интервале информационный поток термов при изучения всех модулей является равномерным. Это весьма благоприятная ситуация. Поставим задачу оценки влияния возмущающих факторов на реализацию этапов обучения. При фиксированном учебном плане задержки изучения одного модуля ведут к задержкам изучения остальных модулей.

Разработана сетевая вероятностная модель реализации учебного плана. Вершины

графа сетевой модели взвешены случайными величинами времен изучения и списками

входных и выходных термов.

Рис. 9 Модель изучения модуля

Сетевая модель учебного плана

141

Признаки за вершения б азовых этап ов

Блокировка

Рассылка

признака

заверш.

Рис. 10

В данной модели каждая вершина (изучение модуля) представляет объект, моделирующий временную задержку (аналогично СеМО) и имеющий входную блокировку, т.е. модуль может изучаться, когда все связанные с ним модули уже изучены.

Интерпретация интервалов выполнения этапов в данном случае имеет вероятностный характер. Это время вычисляется на основании экспертных оценок или статистических данных по временам изучения аналогичного учебного материала. Пусть T ; - время начала изучения i-ого модуля; Tк - время окончания изучения 1-ого модуля. Эти времена в построенной модели вычисляются на основании итерационной процедуры.

Т=0

1=агётш{тж1:Тж1>0}

Ои№:

=       ГГж

1:Е, = 1}

— 1     1

(15)

МЩ(1)

1пЩ(1):

Е, = 0

(∀/   Е, = 0)     ⇒   ( Тн1 = Т   Тж1 = Т+Т(Щ))

Критерием

завершения

процесса

является

итерационного

(16)

{1п Щ(1)    1: Е], = 1}=∅

При реализации модельных экспериментов для случайных времен изучения модулей Т;=Т;(1,ω) будем использовать либо усеченное нормальное, либо биномиальное распределение.

В общем случае учебный план может быть произвольным сочетанием параллельно-последовательных структур. В случае последовательного изучения модулей времена просто складываются. Результирующая функция распределения задается сверткой.

В случае параллельного изучения модулей необходима реализация операции взятия максимума Т=/ишс(Т1,Т2). Реализация разработанной итерационной процедуры в конечном счете дает функции распределения времен начала TН ; и окончания TК ; для каждого i-го модуля. Процесс изучения каждого модуля связан с информационным потоком термов и для их усвоения требует от обучаемого определенной. Имея детерминированные значения нагрузки Q;, для каждого терма от уровня его сложности модель вычисляет вероятностные характеристики нагрузки с учетом динамики восприятия учебного материала в каждый момент времени.

Пусть ξ - случайная величина, определяющая время начала изучения модуля. ξ ~{Ц,

)} - где P) -

) - вероятность

начала изучения модуля в момент tу

142

Пусть ^T - случайная величина, определяющая время изучения модуля. ^T ~{Tj, P j} -где P j - вероятность изучения модуля за время T j.

Таким образом, с одной стороны, для каждого фиксированного момента времени t (безотносительно к времени начала) значение нагрузки Q имеет распределение вероятностей, и следовательно является случайной величиной. Обозначим ее за ^.

УtЗ{Ptj} : ^Q ~{Qj, Ptj}.    (17)

С другой стороны для каждого фиксированного времени начала изучения модуля, которое имеет вероятность Ptj ^ представляет выборочную траекторию случайного процесса (информационного потока заданных термов).

Выборочные функции процесса запросов информационных ресурсов

С02

1

О

1

О

®N

1

Рис. 11

учебной   нагрузки   имеют

кусочно-линейные (18)

Реализации   случайного   процесса выборочные функции:

Q

).

Q(t|со) : 3t1, t2 (^t< t1^t> t2 Q(t)=0) ^t1<t<t2 Q(t)=

t 2

При фиксированном же значении t она будет случайной величиной. Q(t|со)~оPTj (со)IQ (t), где I (t)- индикаторная функция. В результате каждому модулю соответствует случайный процесс ^ усвоения выходных и воспроизведения входных, связанных с ним, схематично представленный на рис.Ошибка! Источник ссылки не найден.

Математическое ожидание процесса в момент u определяется:

Ptt-Ptt

X

M^(u) =

N,+ Tj

(19)

u T

Среднеквадратическое отклонение определяется:

1

Q

(2 u )) .

PttгPT

 2

M^

X

Ti(

(20)

Q

T

N

1

i , j : ti+Tj=u T У

В результате вариации долей среднеквадратического отклонения, случайный процесс учебной нагрузки будет иметь вероятностные характеристики, графики которых приведены на рис.Ошибка! Источник ссылки не найден.

MVtt=М^Q(t) - среднее значение нагрузки в момент t; MV_1tt= М^Q(t) + М8ЩQ(t) - верхняя граница нагрузки; MV_2tt= М^Q(t) - М8ЩQ(t) - нижняя граница нагрузки;

Распределение нагрузки

143

Рис. 12

В результате для каждого этапа изучения модуля задан случайный процесс нагрузки и информационного потока термов.

Следующим этапом для формирования суммарного потока является объединение информационных потоков всех модулей. На рис.Ошибка! Источник ссылки не найден. приведена иллюстрация суммирования нагрузок всех модулей.

Объединений нагрузок

План график работ T

1

Запросы на ресурсы каждого этапа

Рис. 13

Имея структуру общей нагрузки, как случайный процесс, суммируя (в вероятностном смысле) нагрузки всех этапов, найдем общую нагрузку всего цикла обучения во времени:

Vt Qq(t|со)=Е Qjq(t|ш).      (21)

Структура этой зависимости некоторым образом подобна сглаживанию зависимости детерминированного временного ряда. Если в детерминированном варианте без учета возмущений сглаживание выполнялось для достижения равномерности нагрузки за счет вариации последовательности модулей учебного плана, то в вероятностном варианте это сглаживание получается естественным образом как следствие влияния неопределенности.

Полученная модель может быть использована для постановки и анализа решения оптимизационной задачи формирования оптимального учебного плана с учетом динамически меняющейся. Отступление сроков изучения отдельных модулей от прогнозируемых величин и статистика результатов решения тестовых заданий может корректировать индивидуальный учебный план. Таким образом, возможно решение задачи    оперативного    управления    процессом    обучения    на    основе    динамической

144

корректировки базового плана.

Таблица 1.

Структура и параметры модели

Проведенные эксперименты с моделями различных категорий обучаемых позволили вычислить интервалы неопределенности времен изучения и объемы нагрузок для различных категорий. В таблице 1 приведены модельные данные для равномерного распределения времен изучения каждого модуля.

На рис.Ошибка! Источник ссылки не найден. приведен график нагрузок для различных вариантов неопределенности времен изучения модулей:

время выполнения каждого этапа детерминировано и минимально - MO_MIN;

время выполнения каждого этапа детерминировано и максимально - MO_MAX;

время выполнения каждого этапа размывается на один (два) кванта времени среднего (слабая неопределенность) - MOТ 1;

время  выполнения  каждого этапа размывается  до  максимального диапазона

(сильная неопределенность) - MOТ2

110 90 70 50 30 10

-

-О-   МО_М1Ы -П    МО_МАХ --О"   МО_Т1 -Д-   МО_Т2

™Ш*М1

График средних значений учебных нагрузок йа1:а: дгарИ.ЗТА 22у * 60с

-5

5

15

25

35

45

55

145

Data: graph.STA 25v * 60c

Рис. 14 Случайные потребности потоков в случае слабой неопределенности

80 60 40 20 0 -

20           30

Рис. 15

Объемы нагрузок каждого модуля были неизменными и результаты усреднялись по 200 значениям повторных модельных реализаций.

На рис. Ошибка! Источник ссылки не найден. приведены графики средних значений учебных нагрузок с нижней и верхней границей доверительного интервала. Т.е. в каждый момент времени определяет математическое ожидание и дисперсию случайная величины нагрузки, что позволяет судить о сбалансированности учебного плана и возможных отклонениях на каждый момент времени.

Как видно из графика степень неопределенности сглаживает среднее значение нагрузки по всему циклу переподготовки, однако при этом увеличивается и дисперсия нагрузки.

Кусочно-экспоненциальная аппроксимация функции забывания термов Пусть АТ8; - продолжительность i-го цикла обучения. С каждым выходным термом XV № связана некоторая функция и аппроксимации функций авторегрессии Пусть TW№,о -момент определения выходного терма в некотором модуле Mт. Этот момент времени связан с окончанием изучения модуля Mто, что определяется на основании обработки результатов тестового контроля. Пусть [TbW№д, ТеУ№д] - интервалы времени воспроизведения этого терма в других модулях, где TbW№д - начало изучения модуля Mт;, а TeW№д - конец изучения модуля Mт;

Эти моменты времени вычисляются на основе сетевой модели учебного плана. Пусть указанные модули включены в дисциплины Dао и Dад , тогда:

10

40

50

т-1

НМ1

9-1          /  ,111У1 к

т, ттт      ^   агл     к=1         Л гт,п       гп   ттт гп, ттт    ПМ к        Л гт,п

=1           НИк        '               '      НИк

(22)

В результате с каждым выходным термом связана таблица его воспроизведений по связанным с ним входным термам.

Таблица 2. Интервалы воспроизведений термов

<выходной терм>

Забываемост ь 2У№    

Время определения

ТЬУ№,о              

146

Синонимы выходного терма <входной терм 1>

Усиление

Начало TbWw,1

Конец

TeWw,1

<входной терм K>             UWw,K                  K

Построение функции забываемости основано на подъеме значений понимания терма в моменты окончания чтения модулей использующих заданный терм.

Пусть до момента TW w,0 терм не определен и его функция забывамости равна 0, с момента определения TW w,0 функция принимает некоторое значение, определяемое содержанием модуля по экспертным оценкам. Затем в соответствии с заданным коэффициентом забываемости ZW w функция падает по выбранной в модели параметрической функции авторегрессии. В моменты TeW w,i на основании связанного с термом коэффициента усиления UW w,i функция делает скачек вверх, после чего падает до следующего момента UW w,i+1

Построение функции забываемости

w,0

w,r

Ww,1      Ww,2

Рис. 16 Одной из реализаций функций забывания может быть:

? = 0⇒/ = 100      /й50

(23)

/ = ехр(-с1)     ехр(-с ⋅ 2,№) = 50 ⇒ с =        

{ = 2Ж ⇒ / = 50   2Ж

где в качестве начального значения функции принято значение 100 (процент понимания). Для определения параметра экспоненты воспользуемся соотношением двойного уменьшения функции, что некоторым соотносится с параметризацией функций через период полураспада в ядерной физике. Коэффициент усиления - это отношение расстояния от текущего значения до 100:

100 - {■ .               100 - {■

                 = иуу^ г- ⇒ /;   =100        

100-/.     ,               Ц^п,!

(24)

Для согласования термов в рамках одного семестра по пересекающимся по времени модулям учитывается плавный подъем на интервале чтения модуля. Этот факт определяет необходимость введения операции сложения усилений на пересекающихся интервалах.

где U 0 - начальный запас уровня знаний, L 0 - начальная активность. α 0 - коэффициент забываемости.

Функция забываемости на интервале изучения модуля

∫ 11 { =    /(1)Ж       Х{ < I < 1+1

Г             Г             α0

/ (I) = ( / (10)-Ь)ехр(            () + Ь

(25)

147

5

4

100\%

Рис. 17

Сложение активностей должно подчиняться следующим правилам: пусть a, b, c -значения активностей, тогда a=0 => f=ехр[-(z-t), a>0 => f -монотонно возрастающая и c=aФb => f(a)+f(b) > f(c).

Возможна аналогия сложения активностей со сложениями случайных величин, при этом дисперсия может интерпретирована как некоторая неопределенность в модели оценки уровня знаний.

(0

ра2а2

$1

(26)

N

а

~

ра

$

=^> 1)г| = <з12 + 2ра1 <?1 +

2/

2

2    2

4^1 У

Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий. В контексте формализации знаний это соответствует тому, что информационно независимые разделы просто суммируются.

Для зависимых случайных величин при вычислении суммы вступает в силу корреляция. Для модели знаний это определяет связь разделов. Повторение (положительная корреляция) увеличивает глубину знаний, однако уменьшает широту (размах).

При задании числовых значений коэффициентов усилений и забываемости у экспертов могут возникнуть определенные трудности в связи с размытым представлением об указанных коэффициентах. Поэтому целесообразно введение лингвистических значений коэффициентов на базе использования теории размытых множеств. При этом в качестве значений оценок коэффициентов будут выступать понятия «сильный», «слабый», «умеренный» и другие. Это позволит более адекватно построить форму опроса преподавателей по связности термов и значений забываемости.

Нечеткая модель восприятия учебной информации

Для зависимых случайных величин при вычислении суммы вступает в силу корреляция. Для модели знаний это определяет связь разделов. Повторение (положительная корреляция) увеличивает глубину знаний, однако уменьшает широту (размах).

Восприятие материала в нечеткой постановке интерпретируется рис.Ошибка! Источник ссылки не найден., где показаны кривые, соответствующие старому и новому уровню знаний обучаемого, с учетом сложности предоставленной информации.

Задача формализации понятий «сложности», «необходимости», «воспринимаемости» и др.

Статическая модель блока связана с моделью тестирования по неопределенности в оценке знаний (вероятности решения тестов, опирающихся на термы). Необходимо введение понятий «информативности» и «объема информации».

148

I*M*

с              c

Новая ФЗ

Блок, модуль

I

c

Студент Старая ФЗ

Рис. 18

Динамическая модель может апробировать на тестовых экспериментах. Дать новое определение и потом тест на него и включая использование старых понятий. Подходит в этом случае и статистический анализ.

Обучающий блок должен быть не близок т не далек от истинного уровня знаний. I c, I*c - максимальное значение функции (старое и новое). M c, M*c - положение функции (старое

цепочка предыстории

(27) вероятностной

c

ина знаний

новое). Широта знаний - множество термов. Глуб терма.

Mc * = Mc + d ⋅       1С = 1С + У+

V + Изменение     положения     может     производится     на     основании

интерпретации. Пусть старая   функция принадлежности равна /с = Х0 ехр (- X - Х0 )2

Новая - соответственно /с = Х1 ехр[(- X - Х1)   , где х0 и х1 - некоторые константы, тогда результирующую функцию можно представить:

тxху^ ехр[- ^ |[, x 1 + ( c- x 0 )] exp [( x 1 + c- x 0)]}   (28)

При задании числовых значений коэффициентов усилений и забываемости у экспертом (ими выступают преподаватели) могут возникнуть определенные трудности в связи с размытым представлением об указанных коэффициентах. Поэтому целесообразно введение лингвистических значений коэффициентов на базе использования теории размытых множеств. При этом в качестве значений оценок коэффициентов будут выступать понятия «сильный», «слабый», «умеренный» и другие. Это позволит более адекватно построить форму опроса преподавателей по связности термов и значений забываемости.

149