2.7 повторение испытаний. формула бернуллиПри решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание (опыт) повторяется многократно. Например, стрелок, не сходя с места, каждый раз тщательно прицеливаясь, производит несколько выстрелов по мишени или несколько человек заполняют по одной карточке «Спортлото». В результате каждого такого испытания может наступить или не наступить некоторое событие А. В результате одного выстрела (испытания) мишень может быть поражена (событие А) или нет (событие Ậ). В результате заполнения одной карточки «Спортлото» (испытания) можно отгадать все шесть номеров (событие А) или не отгадать все номера (событие Ậ). Можно предположить, что в приведенных ситуациях вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же (для каждой ситуации своя). Модель каждой из этих ситуаций выглядит следующим образом. Проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события в каждом отдельном испытании постоянна, т. е. не меняется от испытания к испытанию. Вопрос о том, как находятся вероятность события в отдельном испытании, уже был рассмотрен. Поэтому представляет особый интерес появление любого определенного числа раз события А в n испытаниях, точнее, вероятность появления этого числа. Рассмотрению задач, в которых требуется определять вероятность m появлений события А в результате n испытаний, и посвящена настоящая глава. Подобные задачи решаются сравнительно легко, если испытания являются независимыми. Определение. Несколько испытаний называются независимыми относительно события А. если вероятность события А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний. Примером независимых испытаний может служить несколько подбрасываний монеты. Несколько последовательных выниманий из урны одинаковых на ощупь, но разных по цвету шаров, также являются независимыми испытаниями, например, относительно появления белого шара, если шары каждый раз возвращаются назад и тщательно перемешиваются. Возникает вопрос: как связаны независимость испытаний и независимость, событий, которые могут произойти в результате этих испытаний? Пусть проводятся n независимых испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить. Это означает, что в результате каждого испытания может произойти событие А, причем его вероятность не изменяется от того, какие события произойдут в остальных испытаниях. Не исключена возможность, что во всех этих испытаниях произойдет событие А. Обозначим через Аi ,i=1, 2, 3,..., n, событие А, если оно произойдет в i-м испытании. Из определений независимости испытаний и независимости событий в совокупности следует, что события А1, А2, А3, ..., Аn независимы в совокупности. Однако совсем не обязательно, чтобы во всех испытаниях произошло событие А. Пусть для определенности в пяти независимых испытаниях два раза произошло событие А, причем наступило оно во 2-м и 5-м испытаниях. Это означает, что в пяти испытаниях наступили события Ậ1 ;А2 ;Ậ3 ;Ậ4 ;А5 . А так как при замене этого числа событий из группы независимых в совокупности событий на противоположные им события независимость событий сохраняется, то представленная группа событий также независима в совокупности. Практически событие А может появиться в n независимых испытаниях любое число раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием Ậ. Такая группа событий независима в совокупности. Таким образом, из независимости n испытаний относительно события А следует независимость в совокупности группы n событий, представляющей собой произвольную комбинацию событий А и Ậ , одно из которых обязательно произойдет в каждом из рассматриваемых испытаний. По теореме умножения вероятностей для независимых событий, вероятность совместного наступления таких событий равна произведению их вероятностей, т. е. выполняется, например, равенство Р(А1Ậ2Ậ3Ậ4…Ận)=Р(А1)Р(Ậ2) Р(Ậ3) Р(Ậ4)… Р(Ận). Выработаем теперь общий метод решения подобных задач, позволяющий с минимальными вычислительными затратами получить требуемый результат. Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие Ậ. Проведем п испытаний Бернулли. Напомним, это означает. что все п испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом, или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т. е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность Р(А) появления события А в единичном испытании буквой р, т. е. Р(А)=р, а вероятность Р(Ậ)— буквой q, т.е. Р(Ậ)=1-Р(А)=1-р=q. Найдем вероятность Рn(m) наступления события А ровно т раз (ненаступления n - m раз) в этих n испытаниях. Отметим, что здесь не требуется появление m раз события А в определенной последовательности. Вероятность Рn(m) пропорциональна произведению pmqn-m причем коэффициент пропорциональности равен Сmn, т. е. Рn(m)= Сmn pmqn-m Полученную формулу можно доказать используя метод тематической индукции: Однако в качестве доказательства ведем следующие рассуждения. Пусть проведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить и не наступить. Если в результате испытаний событие А произошло m раз (неважно, в каком порядке), то это означает, что совместно наступили m событий А и n-m событий Ậ, вероятности которых в каждом отдельном опыте равны p и q соответственно. Так как все n событий независимы, то, по теореме умножения, вероятность появления m раз события А в определенной последовательности равна pmqn-m. Однако событие А может появиться т раз в п опытах в совершенно другой последовательности и число таких последовательностей равно числу сочетаний из n по т, т. е. Сmn (это число совпадает с числом способов, которыми можно выбрать т мест из имеющихся n, не учитывая их порядка). Все Сmn вариантов появления события А т раз представляют собой несовместные события, вероятность каждого из которых равна pmqn-m. А так как наступление одного (любого) из этих событий означает наступление события, состоящего в том, что в n независимых испытаниях событие А появится т раз, то, по теореме сложения вероятностей для несовместных событий, искомая верятность Рn(m) равна сумме вероятностей всех указанных несовместных событий, т. е. Произведению Сmn pmqn-m . Таким образом, Рn(m)= Сmn pmqn-m= n!/(m!(n-m)!) * pmqn-m (*) Полученную формулу называют формулой Бернулли. Проиллюстрируем применение формулы (*). Задача . Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»? Как правило, на вопрос задачи отвечают, что эта вероятность равна 1/2. Однако это ошибочный ответ. Действительно, здесь n=8, m=4, p=q=1/2. По формуле (*) получаем Р8(4)= С48 (1/2)4(1/2)4=70/256<1/3.
2.8 Асимптотические формулы При решении задач особых трудностей при вычислении искомых вероятностей не возникало, так как число испытаний n было велико. Однако, если число испытаний достаточно велико, то использование формулы (*) нецелесообразно в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Пусть, например, требуется вычислить Р320(285 ) (при p =0,89). В данном случае формула (*) принимает вид Р320(285)= 320!/(285!35!) * (0,89)285(0,11)35 Получить по указанной формуле более или менее точный результат практически невозможно. Рассмотрим специальные методы, с помощью которых можно получить достаточно точные ответы в задачах, связанных с повторением испытаний, не прибегая к сложным вычислениям. Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытанийдостаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытани х событие А наступит m раз, приближенно равна ( чем больше n, тем точнее) значению функции y= 1/√npq * f(u), где f(u)= 1/√2π *e-u²/2 , u= (m-np)/√npq Рn(m)≈ 1/√npq*f(u= (m-np)/√npq) Если вероятность события р (или q) в отдельном испытании близка к нулю (такие события называют редкими), то даже при большом числе испытаний n , но при небольшой величине произведения np (меньше 10) вероятности Рn(m) недостаточно близки к их истинным значениям. В таких случаях применяют другую формулу – формулу Пуассона. Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, чило независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np=λ, то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна λm e-λ/m! , т.е. Рn(m) ≈ λm e-λ/m! Данная формула называется формулой Пуассона.
|
| Оглавление| |