Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся - Учебное пособие (Мельникова Ю.Б.)

2.3 классическая формула вероятности

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный». Например, «к вечеру, вероятно, пойдет дождь», «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоз­дает». При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое. В этом случае говорят, что оно более возможно, т. е. его наступление более вероятно. Естественно, при такой оценке человеку помогает здравый смысл и жизненный опыт.

Например, предполагая, что первым увиденным человеком в кинотеатре на детском киносеансе, скорее всего, будет школьник, а не взрослый, мы считаем, что на детском киносеансе заведомо больше детей, чем взрослых. Из опыта известно, что при выполнении многих видов работ вредна торопливость. В спешке можно совершить такое действие, которое сведет на нет всю предыдущую работу. Иначе говоря, при спешке более вероятен брак в работе, т. е. вероятность (возможность) выхода брака выше.

Пусть, например, в ящике находятся 28 одинаковых по внешнему виду изделий, среди которых два изделия 3-го сорта и по тринадцать изделий 1-го и 2-го сорта. Наудачу вынимается одно изделие. В данном случае разумно считать событие «вынуто изделие 1-го сорта» более возможным, чем событие «вынуто изделие 3-го сорта», так как изделий 1-го сорта значительно больше, чем изделий 3-го сорта.

Очевидно, события «вынуто изделие 1-го сорта» и «вынуто изделие 2-го сорта» имеют одинаковую возможность появления, поскольку количество этих изделий одинаково.

 Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить или ценить возможности появления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, это можно сказать про события «герб» появился два раза при пятикратном бросании монеты, «во время решения задачи отказала ЭВМ» и т. д. Как видно из приведенных примеров, каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, т. е. определенной оценкой. Такую оценку события называют вероятностью события.

Определение. Вероятность события — это численная мера объективной возможности его появления.

По определению, событию можно поставить в соответствие определенное число — его вероятность. Однако приведенное определение не дает формулу для нахождения этого числа. Во многих случаях проблема решается, если применить классическую формулу вероятности, которая дается ниже.

Пусть проводится опыт, в результате которого могут вступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных со6ытнй, то говорят, что опыт «сводится к схеме случаев». Здесь случаем называют каждое из событий (исходов), принадлежащих выделенной полной группе. Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.

 Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий. Вероятность Р(А) наступления бытия А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

Если N—число всех исходов испытания, а М—число исходов, благоприятствующих событию А, то 

P(A)=M/N     (*)

Проиллюстрируем формулу решением следующих задач.

Задача. Какова вероятность появления четного числа очков при одном бросании игрального кубика?

Решение: Обозначим через А событие «выпадет четное число». Рассмотрим события Аi — «выпадет i очков», i=1, 2, ..., 6. Очевидно, что эти события равновозможны и образуют полную группу (см. пример 2.11). Тогда число всех исходов N= 6.  Выпадению четного числа очков благоприятствуют события А2, A4, A6 т. е. М=3. Искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов: Р(А)=М/N=3/6= 1/2.

Задача. Бросаются два игральных кубика. Ка­кова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Решение: Каждый из кубиков может упасть шестью различны­ми способами. Тогда два кубика по правилу умножения могут упасть 6*6= 36 различными способами. Каждому та­кому способу соответствует событие, которое является ис­ходом испытания бросания двух кубиков. В силу симметрич­ности кубиков все эти события равновозможны и образуют полную группу несовместных событий. Поэтому число всех исходов бросания двух кубиков N=36. Число благоприятствующих исходов M=6. Тогда, по определению, Р(А)=М/N=6/36= 1/6.

 Задача. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные—девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

Решение: Обозначим событие, вероятность которого следует найти, буквой А. Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске учащихся не играет роли. Найдем число всех исходов испытания, состоящего в вызове двух учащихся. Это число равно количеству способов, которыми можно выбрать двух учащихся из 30. Порядок выбора не играет роли, поэтому N=C230. Найдем теперь число М благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девушек из 18. Оно равно C218. По определению вероятности,

                            P(A)=M/N= C218 / C230  =51/145 

Обобщим результаты, полученные при решении задач. в виде свойств вероятности и докажем их.

1°. Вероятность достоверного события равна 1.

Если событие А достоверное, то любой исход испытания благоприятствует этому событию, но тогда М=N. Следова­тельно,

Р(А)=М|N=N/N=1

2°. Вероятность невозможного события равна 0.

Если событие А невозможное, то ни один из исходов испытания не благоприятствует ему. Следовательно, М=0, но тогда

Р(А)=М|N=0!N=0.

3°. Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству 0≤Р(А)≤1.

Число исходов, благоприятствующих наступлению со­бытия, либо равно 0, либо N, либо, по определению вероят­ности, является частью всех N исходов испытания. Тогда 0≤M≤N, а значит, 0≤М/N≤1. Следовательно, О≤Р(A) ≤1.

В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом, сформулированных А. Н. Колмогоровым.

Одним из основных достоинств классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т. е. не прибегая к опытам, которые заменяют логическими рассуждениями.