2.1 счлучайные события

Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обя­зательно имеются основополагающие. Если для геометрии это понятия точки, прямой, плоскости, а для математического анализа—функции и ее предела, то для теории вероятностей одним из основных является понятие события.

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комп­лекса условий. Осуществление этого комплекса условий будем называть опытом или испытанием. Здесь предполагается, что комплекс условий, в результате которого наступает определен­ное событие, может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз, т. е. имеется возможность проводить неоднократно испытание в неизменных условиях. Вообще говоря, полностью совпадения всех условий для каждого испытания добиться невозможно и поэтому можно говорить лишь о некотором приближенном равенстве условий испытаний. При проведении испытания необязательно должен присутствовать и участвовать в нем сам исследователь. Опыт можно поставить мысленно или «окружающая природа поставит этот опыт сама». В последнем случае исследователь выступает в роли наблюдателя. Например, для появления радуги во время дождя должны иметь место определенные атмосферные условия. И каждый  раз, как только возникают соответствующие условия, можно любоваться радугой. На практике часто в силу объективных  причин бывает трудно воспроизвести весь комплекс условий, который необходим для появления определенного события.

Это обычно связано с недостаточно подробно изученной, природой явления или с технической невозможностью его воссоздания в данное время. Поэтому при выполнении неполного комплекса условий интересующее событие может не наступить, и будет иметь место какое-нибудь другое. В силу изменяющихся независимо от воли исследователя неучтенных условий при повторении испытания будут наступать те или иные события, причем не известно заранее, какие из них. Такие события обычно называются случайными. Например, один выстрел из винтовки по мишени — испытание, причем его можно повторить сколько угодно раз. В результате такого испытания наступит одно из 11 следующих случайных событий:

«в результате одного выстрела выбито 0 очков»; «в результате выстрела выбито 1 очко»; «в результате выстрела выбито 2 очка»;  «в результате выстрела выбито 10 очков». Здесь трудно сказать заранее, какое из названных случайных событий в результате выстрела произойдет наверняка.

Определение. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

В дальнейшем для простоты слово «случайный» будем опускать. События обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ... и т. д.

Пример. Бросается симметричная монета. Бросание монеты-испытание. «Монета упала «гербом вверх» и «монета упала решкой вверх»—возможные события.

Пример.  Завтра днем - ясная погода. Здесь наступление дня является испытанием, «В течение дня наблюдается ясная погода»— событие.

Из приведенных примеров следует, что событие можно охарактеризовать, сформулировав его в виде предложения. Однако не всякое предложение выражает событие. Например, предложение «Миру нужен мир» не задает какого-либо события, которое могло бы произойти или не произойти.

На практике часто встречаются события, которые обяза­тельно всякий раз происходят в результате определенного испытания. Также встречаются события, которые не могут произойти в результате испытания, сколько бы раз его ни проводили.

Определение. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

Пример. Наступление ночи по прошествии дня —достоверное событие •

Пример. Кит — это млекопитающее.   Это событие является достоверным. •

Определение. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате  данного испытания.

Пример. Выпадение цифры 5 при бросании десятикопеечной монеты— невозможное событие.

Пример. Появление марсианина на улицах современного города— невозможное событие •

Ранее уже отмечалось, что в результате опыта (испытания) возможно появление того или иного события.

Некоторые из возможных в данном испытании событий могут наступить вместе, т. е. быть совместными. В результате испытания может возникнуть и другая ситуация, когда появление одного из возможных в данном случае событий обязательно исключает появление определенного другого события, т. е. события могут быть и несовместными. Пусть бросается игральный кубик, на гранях которого различное число очков от 1 до 6. В результате этого испытания могут наступить такие события, как «на верхней грани четное число очков»; «число очков на верхней грани равно З»; «на верхней грани 6 очков». Появление на верхней грани кубика трех очков исключает появление шести очков. Поэтому последние два события являются несовместными при одном испытании. Такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение числа очков, равного 6, уже являются совместными, поскольку число 6 является четным.

Определение. События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

Пример. Бросается монета. Появление решки исключает появление «герба», и наоборот. Поэтому события «появилась решка» и «появился «герб»— несовместные события. •

Определение. События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появления другого.

Пример. В аудиторию вошел человек. События «в аудиторию вошел человек старше 30 лет» и «в аудиторию вошел мужчина»—совместные, поскольку в аудиторию может войти мужчина - старше 30 лет. •

Пусть некто набирает номер телефона при исправной телефонной сети. В результате этого испытания возможны следующие события: «номер занят», «номер свободен». Эти  два события взаимосвязаны, так как непоявление одного из них влечет за собой обязательно появление другого.       

Выше понятие «влечет», употреблялось применительно к событиям. В дальнейшем будем говорить, что событие  А влечет событие В, если всякий раз, когда наступает событие  А, наступает и событие В.

Определение. Два события А и Ậ называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания  влечет появление другого (Ậ читается «не А»).

Следует заметить, что события А и Ậ несовместны.

Пример. Если при проверке оказалось, что некоторое изделие имеет дефекты, то это изделие не может быть стандартным, и наоборот. Поэтому события «изделие бракованное» и «изделие стандартное»—проти­воположные, •

Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места» противоположным является «хотя бы один из спортсменов команды ' не занял призовое место». •

Рассмотрим теперь на примере множество события, которые могут произойти в результате некоторого испытания.

Пусть производится один выстрел по мишени. Выделим следующие события, которые могут произойти в результате этого испытания (опыта):

А— « выбито очков, где 1 изменяется от 0 до 10»,

В — «выбито четное число очков»,

С —«выбито нечетное число очков»,

D —«выбито более 4 очков»,

Е —«выбито менее 5 очков»,

F—«число выбитых очков делится на II»,

Q —«число выбитых очков меньше 12».

Ограничимся этими событиями, хотя их список можно было продолжить. Нетрудно заметить, что между отдельными событиями наблюдается определенная связь. Например, со­бытия Аi попарно несовместны; то же самое можно сказать и про пары событий В и С, А6 и Е, А3 и В. Пары событий В и С, D и Е являются противоположными событиями, а пары событий А8 и В, А3 и С, А2 и Е, А5 и Q—совместными. Если произошло событие А8, т. е. выбито 8 очков, то обязательно произойдет событие В, так как число 8 четное. Заметим, что эти события совместны. Предположим, что выбито 2 очка, т. е. произошло событие В, однако событие D не наступило, хотя события В и D совместны. Особое место занимают события F и Q. Первое из них является невозможным событием, а второе—достоверным..

Обратим внимание на следующие группы события, которые обладают одинаковыми свойствами:

1) А0;  А1 ; А2 ; А3 ; А4 ; А5 ;А6 ; А7 ; А8 ; А9 ; А10 ;

2) B, С;

3) D, Е.

В результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие, неважно какое, из всех событий, принадлежащих одной из рассматриваемых групп, причем любые два события, принадлежащие одной группе, несовместны. Теперь на ос­новании рассмотренного примера сформулируем два опре­деления.

Определение. Событие А называется благоприятст­вующим  событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

В рассмотренном выше примере события А1 ; А2 ; А3 ; А4 являются благоприятствующими событию Е, а события А1 ; А3 ; А5 А7 ; А9  —благоприятствующими событию С.

Определение: Если группа событий такова, что в резуль­тате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

Приведенные выше три группы событий, по определению, являются полными. При решении вероятностных задач большую роль играет выбор полной группы событий. Если полная группа выбрана удачно, то решение задачи значительно упрощается. В противном случае оно будет представлять определенные трудности или даже не будет найдено. С некоторым преувеличением можно сказать, что «выбор полной группы есть искусство». В дальнейшем каждое событие из полной группы попарно несовместных событий будем называть исхо­дом данного опыта (испытания). Иногда исходы испытания называются элементарными событиями. Рассмотрим пример полной группы попарно несовместных событий.

Пример. Бросается игральный кубик. События, заключающиеся в том, что на верхней грани кубика появятся 1, 2, 3, 4, 5, б очков, образуют полную группу событий, так как в результате опыта кубик обязательно упадет какой-нибудь гранью вверх, а значит, произойдет одно из указанных событий. Все эти события попарно несовместны, так как кубик не может упасть одновременно двумя гранями вверх. Группа событий, состоящая в том, что выпадет 1, 2. 4, 5, 6 очков, не является полной, поскольку в результате опыта может выпасть 3 очка, а такое событие не содержится в указанной группе. •

На основании определений полной группы и достоверного события можно сделать вывод, что событие, заключающееся в появлении одного, неважно какого, из событий полной группы,— достоверное.

Понятие полной группы позволяет доказать утверждение, что два несовместных события, образующие полную группу, являются противоположными событиями. Действительно, если в результате опыта не произойдет одно из событий, то обязательно произойдет другое, так как, по определению полной группы, одно из них должно обязательно произойти. Такие события, по определению, называются противопо­ложными.

Предположим, что имеется идеально симметричный кубик; изготовленный из однородного материала. В этом случае нет оснований считать выпадение 6 очков более возможным, чем выпадение, например, 2 очков. Поэтому правомочно считать, что возможность выпадения 6 очков та же, что и выпадения  любого другого числа очков, т. е. все 6 событий, которые могут наступить в результате бросания игрального кубика равновозможны.                                    

Определение. События называются равновозможными если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.               |

Пример. В урне находятся тщательно перемешанные 10 одинаковых на ощупь шаров. Среди них 5 белых и 5 черных. Наудачу вынимается один шар. Здесь события «появился белый шар» и «появился черный шар» равновозможны. •

Пример. «Появление «герба» и «появление решки» при бросании симметричной монеты— равновозможные события. •

В рассмотренных примерах вывод о равновозможности событий делался из соображений симметрии. Условия опытов были симметричны относительно рассматриваемых событий, т. е. все события были «поставлены в равные условия». Высказывая утверждение о равновозможности событий, при­ходится делать определенные допущения. Например, при бросании монеты предполагается, что она сделана из однород­ного материала, представляет собой круг, симметрична (т. е. не погнута), что наличие чеканки не влияет на положение центра тяжести Эти допущения, основанные на здравом смысле, дозво­ляют обосновать вывод о равновозможности событий, однако это не всегда можно сделать исходя из условий испытания.