Тема 1. делимость целых чисел. делимость суммы, разности, произведения и частного

     Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Определение 1.1. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc.  При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения:  -  а делится на b или b½a – b делит a

     Рассмотрим простейшие свойства делимости.

Для любых целых чисел a, b, c справедливы:

Теорема 1.2. Если  и с – частное от деления, то с – единственное.

Теорема 1.3.

Теорема 1.4. Если  и , то .

Теорема 1.5. Если  и , то или a=b, или a= -b.

Теорема 1.6. Если  и , то а=0.

Теорема 1.7. Если  и а¹0, то .

Теорема 1.8. Для того чтобы  необходимо и достаточно  чтобы.

Замечание 1.9. На основании теоремы 1.8. в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

Теорема 1.10. Если , то .

Теорема 1.11. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и к-ое слагаемое делится на с.

Контрольные вопросы

Когда говорят, что число a делится на число b?

Что называется частным отделения числа a на b?

Что можно сказать о числах a и b, если они делят друг на друга?

Каким может быть число a, если  и ?

Известно, что  и , что можно сказать о делимости на b числа а3?