Геометрия окружностей - Учебное пособие (Мендель В.В.)

Целые числа и алгоритмы теории чисел

Пояснительная записка

     Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это элементарная часть математики. В школе арифметике учат, начиная с первого класса. Между тем арифметика, если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними, - трудный и далеко не элементарный раздел математики. Поэтому, на наш взгляд, было бы полезно, если бы школьники старших классов, имеющие склонность к математике, углубляли тот набор знаний, который они приобрели в младших классах

     Предлагаемый курс рассчитан на 20 часов. В программе рассматриваются наряду с уже известными вопросами такими как: делимость двух целых чисел, наибольший общий делитель целых чисел, наименьшее  общее кратное целых чисел и способы их нахождения, вопросы которые в школьном курсе не рассматривались. А именно: формулируются и доказываются теорема о делении с остатком и основная теорема арифметики, подробно рассматриваются свойства простых и составных чисел, на основе теоремы о делении с остатком рассматривается еще один способ нахождения НОД целых чисел (алгоритм Евклида) и применение свойств НОД к решению уравнений в целых числах, а также рассматриваются некоторые вопросы теории сравнений. Особенностью курса является подробное описание основных алгоритмов: алгоритма Евклида, для нахождения НОД двух целых чисел, нахождения наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм нахождения простых чисел (решето Эратосфена), алгоритм разложения числа на простые множители, алгоритм решения линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными. Все эти алгоритмы могут быть реализованы практически на ЭВМ.

Цели курса

     1)Обеспечить усвоение понятий: делимости чисел, деление целого числа с остатком, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, простое число, составное число.

     2)Научить применять полученные теоретические знания к  решению задач.

Тематическое планирование

п/п

Темы занятий

Количество часов

 

Отношение делимости. Делимость суммы, разности, произведения и частного.

4

 

Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Алгоритм разложения целого числа на простые множители

4

 

Алгоритм нахождения простых чисел в натуральном ряду (решето Эратосфена)

2

 

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, способы их нахождения. Взаимно простые числа

4

 

Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида

4

 

Алгоритм решения диофантова уравнения первой степени от двух переменных.

2

Итого

20

 

Текст пособия